Fermi-Dirac istatistikleri

Termal dengede ve içkin etkileşimleri göz ardı edilebilir N tane eş fermiyumdan oluşan bir sistem varsayın. İçkin etkileşimler göz ardı edilebildiğinden dolayı, R seviyesine sahip ait E_R enerjisine sahip çok parçacıklı sistemin enerjisi tek tek parçacıkların enerjilerinin toplamı olarak ifade edilebilir.

${\displaystyle E_{R}=\sum _{r}n_{r}\epsilon _{r}\;}$

${\displaystyle n_{r}}$ doluluk sayısı denir ve ${\displaystyle \epsilon _{r}\;}$ enerjiye sahip ${\displaystyle r}$ seviyesindeki parçacık sayısıdır. Tolam olası tüm ${\displaystyle r}$ seviyelerindeki parçacıklarının enerjilerinin eklenmesiyle bulunur.

Çok parçacıklı sistemin ${\displaystyle R}$ seviyesinde olma ihtimali düzgelenmiş kanonik dağılım ile ifade edilir.

${\displaystyle P_{R}={\frac {e^{-\beta E_{R}}}{\displaystyle \sum _{R'}e^{-\beta E_{R'}}}}}$

${\displaystyle \beta \;}$${\displaystyle =1/kT}$, ${\displaystyle k}$ is Boltzmann sabiti, ${\displaystyle T}$ mutlak sıcaklık, e^{${\displaystyle \scriptstyle -\beta E_{R}}$} Boltzmann factörü denir ve tolam olası tüm ${\displaystyle r}$ seviyelerindeki parçacıklarının enerjilerinin eklenmesiyle bulunur.. Ortalama doluluk sayısı ${\displaystyle n_{i}\;}$ değeri:

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}\ =\ \sum _{R}n_{i}\ P_{R}}$

Çok parçacıklı sistemin ${\displaystyle R}$ seviyesi tek-parçacıklı sistemin seviyelerinin parça doluluğu ile belirtilebilir, şöyle ki ${\displaystyle n_{1},\,n_{2},\,...\;,}$ belirterek, böylece

${\displaystyle P_{R}=P_{n_{1},n_{2},...}={\frac {e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+n_{2}\epsilon _{2}+...)}}{\displaystyle \sum _{{n_{1}}',{n_{2}}',...}e^{-\beta ({n_{1}}'\epsilon _{1}+{n_{2}}'\epsilon _{2}+...)}}}}$

ve denklem ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ için

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\bar {n}}_{i}&=\sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}\ P_{n_{1},n_{2},\dots }\\\\&={\frac {\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}\ e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+n_{2}\epsilon _{2}+\cdots +n_{i}\epsilon _{i}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+n_{2}\epsilon _{2}+\cdots +n_{i}\epsilon _{i}+\cdots )}}}\\\end{alignedat}}}$

Pauli dışlama prensibine göre olası tüm kombinasyonlar olan ${\displaystyle n_{1},n_{2},...\;}$&nbsp üzerinden ve her bir ${\displaystyle r}$ için ${\displaystyle n_{r}}$ = 0 or 1 üzerinden toplama yapılır. Ayrıca, her bir ${\displaystyle n_{1},n_{2},...\;}$ kambinasyonu toplam parçacık sayısının ${\displaystyle N}$ olarak tutulmasını sağlar.,

${\displaystyle \sum _{r}n_{r}=N\;}$ .

Toplam serileri tekrar ayarlanırsa,

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}\ e^{-\beta (n_{i}\epsilon _{i})}\quad \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+n_{2}\epsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\epsilon _{i})}\qquad \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+n_{2}\epsilon _{2}+\cdots )}}}}$

Toplam sembolündeki ${\displaystyle ^{(i)}}$ toplamanın ${\displaystyle n_{i}}$ üzerinden olmadığını belirtir ve toplam parçacık sayısının ${\displaystyle N_{i}=N-n_{i}}$ ile değişimini belirtir. Dikkat edilmelidir ki ${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$, ${\displaystyle N_{i}}$ sınırlandırması ile hala ${\displaystyle n_{i}}$ bağlıdır, çünkü ${\displaystyle n_{i}=0}$ bir durumdur ve ${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$ ${\displaystyle N_{i}=N}$ ile işlenir, başka bir durumda ise ${\displaystyle n_{i}=1}$ ve ${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$, ${\displaystyle N_{i}=N-1}$ &nbsp ile işenir;notasyonu sadeleştirmek ve${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$'nin ${\displaystyle N-n_{i}}$ üzerinden hala ${\displaystyle n_{i}}$ dayandığını açıkça belirtmek için şunu tanımlayalım

${\displaystyle Z_{i}(N-n_{i})\equiv \ \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},...}e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+n_{2}\epsilon _{2}+\cdots )}\;}$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ için önceki ifade yeniden yazılabilir ve ${\displaystyle Z_{i}}$ üzerinden toplanabilir,

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\bar {n}}_{i}\ &={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}\ e^{-\beta (n_{i}\epsilon _{i})}\ \ Z_{i}(N-n_{i})}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\epsilon _{i})}\qquad Z_{i}(N-n_{i})}}\\\\&=\ {\frac {\quad 0\quad \;+e^{-\beta \epsilon _{i}}\;Z_{i}(N-1)}{Z_{i}(N)+e^{-\beta \epsilon _{i}}\;Z_{i}(N-1)}}\\&=\ {\frac {1}{[Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)]\;e^{\beta \epsilon _{i}}+1}}\quad .\end{alignedat}}}$

Bir sonraki yaklaşım ${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)}$ yerine bir ifade koymak için kullanılacaktır.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\ln Z_{i}(N-1)&\simeq \ln Z_{i}(N)-{\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}\\&=\ln Z_{i}(N)-\alpha _{i}\;\end{alignedat}}}$

     ${\displaystyle \alpha _{i}\equiv {\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}\ .}$

Eğer parçacık sayısı ${\displaystyle N}$ yeterince büyük ise sisteme bir parçacık eklendiğinde kimyasal potansiyel ${\displaystyle \mu \;}$ 'deki değişim çok küçük olacaktır, ve ${\displaystyle \alpha _{i}\simeq -\mu /kT\ .}$.Her iki tarafın ters logaritmasını alıp ${\displaystyle \alpha _{i}\,}$ için yerine koyalım ve tekrar düzenleyelim

${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)=e^{-\mu /kT}\,}$ .

Yukarıdaki ifadeyi ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ için denklemde yerine koyalım ve ${\displaystyle 1/kT}$ ${\displaystyle \beta \;}$ yerine koymak için ${\displaystyle \beta \;}$ önceki tanımı kullanalım .Sonuç Fermi-dirak dağılımı olacaktır.

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}=\ {\frac {1}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}+1}}}$

Sistemin çokluğu incelenerek ve Lagrange çarpanları incelenerek doğrudan bir sonuç elde edilebilir.

Toplam n_i tane parçacık içeren ve her biri ε_i enerji seviyelerine sahip i indeksiyle işaretlenmiş seviyeler olduğunu varsayalım. Varsayalım her biri g_i hepsi aynı enerjiye sahip ayrık ve ayrıştırılabilir alt seviyelere sahip olsun.Örneğin, iki parçacık farklı momentaya sahip olduklarında bunlar ayrıştırılabilirler, ancak aynı enerjiye sahip olabilirler.i 'ye karşılık gelen g_i değeri eşenerjilikolarak adlandırılır. Pauli dışlama ilkesi böyle her bir alt seviyeye sadece bir fermiyonun atanabileceğini belirtir.

n_i tane parçacığın g_i enerji alt seviyelerine kaç farklı yolla dağıtılabileceğini binom katsayısı ile bulunur.Binom katsayısının kombinaysonal halini kullanarak

${\displaystyle w(n_{i},g_{i})={\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}\ .}$

Atanan n_i sayısı kümesi olan yol sayısı her bir enerji seviyesinin toplandığı değişik yolların çarğımı olarak anlaşılabilir:

${\displaystyle W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}.}$

[[Maxwell-Boltzmann istatistikleri}}nin çıkarımında da aynı süreç izlenebilir.Amacımız sabit parçacık sayıyı ve sabit enerji için W 'nin enbüyük değerini verecek n_i sayıları kümesini bulmak.Sonucumuzu Lagrande çarpanlarını ile bir fonksiyon yaratarak sınırlandırıyoruz:

${\displaystyle f(n_{i})=\ln(W)+\alpha (N-\sum n_{i})+\beta (E-\sum n_{i}\epsilon _{i}).}$

Faktoriyeller için Stirling yakınsamasını kullanıp n_i göre türev almak ve sonucu sıfıra eşitleyerek n_i için çözül yapılırsa Fermi-Dirac yığın sayısı elde edilir:

${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \epsilon _{i}}+1}}.}$

Termodinamik kullanılarak β = 1/kT (k Boltzmann sabiti ve Tsıcaklık veα = −μ/kT, μ kimyasal potansiyel) olduğu gösterilebilşir.Sonuç olarak bir seviyenin olasılığı:

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {n_{i}}{g_{i}}}={\frac {1}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}+1}}.}$