Eksenlerin dönmesi

Eğer bir odak ${\displaystyle \left(x,\ y\right)}$ olarak xy-koordinat sistemi üzerinde tanımlanır, ise bu x'y'-koordinat sistemi üzerinde "dönen" ${\displaystyle \left(x\cos \theta \ +\ y\sin \theta ,\ -x\sin \theta \ +\ y\cos \theta \right)}$ olarak ifade ediliyor. Aynı şekilde, eğer bir odak ${\displaystyle \left(x^{\prime },\ y^{\prime }\right)}$ olarak x'y'-koordinat sistemi üzerinde, ise bu xy-koordinat sistemi üzerinde "dönüşsüz" ${\displaystyle \left(x^{\prime }\cos \theta \ -\ y^{\prime }\sin \theta ,\ x^{\prime }\sin \theta \ +\ y^{\prime }\cos \theta \right)}$ olarak ifade edilir.

bir genel için,dejenere-olmayan ikinci-derece denklem ${\displaystyle Ax^{2}\ +\ Bxy\ +\ Cy^{2}\ +\ Dx\ +\ Ey\ +\ F\ =\ 0}$, ${\displaystyle Bxy}$ terimleri xy-koordinat sistemi dönmesi ile kaldırılabilir ${\displaystyle \theta }$ bir açı ile, burada

${\displaystyle \cot 2\theta \ =\ {\frac {A\ -\ C}{B}}}$ veya ${\displaystyle \tan 2\theta \ =\ {\frac {B}{A\ -\ C}}}$,

yani:

${\displaystyle \theta \ =\ {\frac {1}{2}}\arctan {\frac {B}{A\ -\ C}}}$.

Eğer ${\displaystyle A\ =\ C}$ ise ${\displaystyle \theta \ =\ {\frac {\pi }{4}}}$.

${\displaystyle Ax^{2}\ +\ Bxy\ +\ Cy^{2}\ +\ Dx\ +\ Ey\ +\ F\ =\ 0,\ B\neq \ 0}$.

Şimdi, denklem ${\displaystyle \theta }$ nicel ile döner, bu nedenle

${\displaystyle A\left(x^{\prime }\cos \theta \ -\ y^{\prime }\sin \theta \right)^{2}\ +\ B\left(x^{\prime }\cos \theta \ -\ y^{\prime }\sin \theta \right)\left(x^{\prime }\sin \theta \ +y^{\prime }\cos \theta \right)\ +\ C\left(x^{\prime }\sin \theta \ +\ y^{\prime }\cos \theta \right)^{2}}$

${\displaystyle \ +\ D\left(x^{\prime }\cos \theta \ -\ y^{\prime }\sin \theta \right)\ +\ E\left(x^{\prime }\sin \theta \ +\ y^{\prime }\cos \theta \right)\ +\ F\ =\ 0}$

genişleyen,denklem alınırsa

${\displaystyle A{x^{\prime }}^{2}\cos ^{2}\theta \ -\ 2Ax^{\prime }y^{\prime }\sin \theta \cos \theta \ +\ A{y^{\prime }}^{2}\sin ^{2}\theta \ +\ B{x^{\prime }}^{2}\sin \theta \cos \theta \ +\ Bx^{\prime }y^{\prime }\cos ^{2}\theta }$

${\displaystyle \ -\ Bx^{\prime }y^{\prime }\sin ^{2}\theta \ -\ B{y^{\prime }}^{2}\sin \theta \cos \theta \ +\ C{x^{\prime }}^{2}\sin ^{2}\theta \ +\ 2Cx^{\prime }y^{\prime }\sin \theta \cos \theta \ +\ C{y^{\prime }}^{2}\cos ^{2}\theta }$

${\displaystyle \ +\ Dx^{\prime }\cos \theta \ -\ Dy^{\prime }\sin \theta \ +\ Ex^{\prime }\sin \theta \ +\ Ey^{\prime }\cos \theta \ +\ F\ =\ 0}$

Terimler gruplandırılırsa,

${\displaystyle {x^{\prime }}^{2}\left(A\cos ^{2}\theta \ +\ B\sin \theta \cos \theta \ +\ C\sin ^{2}\theta \right)\ +\ x^{\prime }y^{\prime }\left\{B\left(\cos ^{2}\theta \ -\ \sin ^{2}\theta \right)\ -2\left(A\ -\ C\right)\left(\sin \theta \cos \theta \right)\right\}}$

${\displaystyle \ +\ {y^{\prime }}^{2}\left(A\sin ^{2}\theta \ -\ B\sin \theta \cos \theta \ +\ C\cos ^{2}\theta \right)\ +\ x^{\prime }\left(D\cos \theta \ +\ E\sin \theta \right)}$

${\displaystyle \ +\ y^{\prime }\left(-D\sin \theta \ +\ E\cos \theta \right)\ +\ F\ =\ 0}$

x'y'-terimini ortadan kaldırmak için, x'y'-teriminin katsayısı 0'a eşit bir küme olmalı.

Eğer ${\displaystyle A\ -\ C\neq \ 0}$ ise,

${\displaystyle {\begin{matrix}B\left(\cos ^{2}\theta \ -\ \sin ^{2}\theta \right)\ -\ 2\left(A\ -\ C\right)\sin \theta \cos \theta \ &=&0\\\\B\cos 2\theta \ -\ \left(A\ -\ C\right)\sin 2\theta &=&0\\\\B\cos 2\theta &=&\left(A\ -\ C\right)\sin 2\theta \\\\\cos 2\theta &=&{\frac {\left(A\ -\ C\right)\sin 2\theta }{B}}\\\\\cot 2\theta &=&{\frac {A\ -\ C}{B}}\end{matrix}}}$

Eğer ${\displaystyle A\ -\ C\ =\ 0}$ ise,

${\displaystyle {\begin{matrix}B\left(\cos ^{2}\theta \ -\ \sin ^{2}\theta \right)&=&0\\\\B\cos 2\theta &=&0\\\\2\theta &=&{\frac {\pi }{2}}\\\\\theta &=&{\frac {\pi }{4}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle Ax^{2}\ +\ Bxy\ +\ Cy^{2}\ +\ Dx\ +\ Ey\ +\ F\ =\ 0}$ denklemi ile bir dejenere olmayan konik kesit ${\displaystyle B^{2}\ -\ 4AC}$ nin değeri evriltilerek ayrıştırılabilir:

${\displaystyle {\begin{cases}{\mbox{Bir elips veya bir çember}},\ {\mbox{eğer}}\ B^{2}\ -\ 4AC\ <\ 0\\{\mbox{A parabol}},\ {\mbox{if}}\ B^{2}\ -\ 4AC\ =\ 0\\{\mbox{A hiperbol}},\ {\mbox{if}}\ B^{2}\ -\ 4AC\ >\ 0\end{cases}}}$

• Dönüş