Dirichlet beta fonksiyonu

Dirichlet beta fonksiyonu'nun tanımı

${\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}},}$

veya eşdeğeri,

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.}$

Re(s) > 0 olduğu her durum için geçerlidir.

Alternatif olarak, aşağıdaki Hurwitz zeta fonksiyonu'nun kompleks değerleri için s-plan'da yapılan tanım

${\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta \left(s,{3 \over 4}\right)\right).}$

Diğer bir eşdeğer tanımlama, Lerch transcendent terimleri içerisindedir:

${\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{{1} \over {2}}\right),}$

s 'nin bütün karmaşık değerleri için bu bir kez daha geçerlidir.

fonksiyonal denklem beta fonksiyonunun açılımı kompleks düzlem'in sol tarafında Re(s)<0 için,

${\displaystyle \beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos {\frac {\pi s}{2}}\,\beta (1-s)}$ olarak verilir.

Burada Γ(s) Gama fonksiyonu'dur.

Bazı tanınmış özel değerler:

${\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle \beta (1)\;=\;\tan ^{-1}(1)\;=\;{\frac {\pi }{4}},}$

${\displaystyle \beta (2)\;=\;G,}$

burada G Catalan sabiti'dir., ve

${\displaystyle \beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}},}$

${\displaystyle \beta (4)\;=\;{\frac {1}{768}}(\psi _{3}({\frac {1}{4}})-8\pi ^{4}),}$

${\displaystyle \beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}},}$

${\displaystyle \beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}},}$

burada ${\displaystyle \psi _{3}(1/4)}$ poligama fonksiyonu'nun sayısal bir değeridir. her pozitif k tam sayısı için genelleştirirsek:

${\displaystyle \beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)},}$

Burada ${\displaystyle \!\ E_{n}}$ olarak gösterlien Euler sayısı'dır.. k ≥ 0,

için açılımlanmış şekli:

${\displaystyle \beta (-k)={{E_{k}} \over {2}}.}$

Dolayısıyla bağıntının bütün negatif integral değerleri için fonksiyon tuhaf bir şekilde gözden kaybolur.

• Hurwitz zeta fonksiyonu

• J. Spanier and K. B. Oldham, An Atlas of Functions, (1987) Hemisphere, New York.
• Eric W. Weisstein, Dirichlet Beta Function (MathWorld)