De Moivre formülü

Üç değişik hal ele alınabilir:

Eğer n > 0 ise, matematiksel tümevarım ile şöyle ilerleyebiliriz.

Eğer n = 1 ise, sonuç açıkça geçerlidir. Hipotezimiz için, sonucun bir tam sayı olan k için geçerli olduğunu varsayalım. Yani varsayımımız şu olsun:

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right).\,}$

Şimdi n = k + 1 halini ele alalım:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\right]\left(\cos x+i\sin x\right)&&\qquad {\mbox{enduksiyon hipotezine gore}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos x-\sin \left(kx\right)\sin x+i\left[\cos \left(kx\right)\sin x+\sin \left(kx\right)\cos x\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\sin \left[\left(k+1\right)x\right]&&\qquad {\mbox{ trigonometrik ozdesliklere gore}}\end{alignedat}}}$

Bundan, eğer sonucun, n = k için geçerli olması halinde, n = k + 1 için de geçerli olduğu anlamına varılır. Öyle ise, matematik endüksiyon prensipine göre, tüm pozitif tam sayılar için (yani n≥1 için) bu sonuç geçerli olur.

Eğer n = 0 ise, ${\displaystyle \cos(0x)+i\sin(0x)=1+i0=1}$ olduğu için ve konvansiyonel olarak ${\displaystyle z^{0}=1}$ olarak verildiği için, bu formül geçerlidir.

Eğer n < 0 ise, n = -m olduğu zaman bir pozitif tam sayı m ele alsın. O halde

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{-m}\\&={\frac {1}{\left(\cos x+i\sin x\right)^{m}}}\\&={\frac {1}{\left(\cos mx+i\sin mx\right)}}\\&=\cos \left(mx\right)-i\sin \left(mx\right)\\&=\cos \left(-mx\right)+i\sin \left(-mx\right)\\&=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\end{aligned}}}$

Böylelikle, teorem nin tüm tam sayı değerleri için geçerlidir.

Karmaşık sayıların eşitliğini gösterdiği için bu denklemin hem gerçel kısımları hem de sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşit olmalıdır. Eğer x (ve bundan dolayı ${\displaystyle \cos x}$ ve ${\displaystyle \sin x}$) gerçel sayılar ise, o zaman bu kısımların özdeşlikleri (taraf değiştirilerek) şöyle yazılabilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(nx)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\sin {\frac {(n-k)\pi }{2}}\\\cos(nx)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\cos {\frac {(n-k)\pi }{2}}\end{aligned}}}$

Bu denklemler xin karmaşık değerleri için geçerlidir. Buna neden, her iki tarafın da x in holomorf fonksiyonları olması ve gerçel eksende birbiriyle çakışan bu şekildeki iki fonksiyonun karmaşık düzeyde de mutlaka birbiriyle çakışması gereğidir.

Bu denklemlerin örnek ifadeleri olarak ${\displaystyle n=2}$ ve ${\displaystyle n=3}$ için şu sonuçlar çıkarılır:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos 2x&=\left(\cos x\right)^{2}+\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&&=2\left(\cos x\right)^{2}-1\\\sin 2x&=2\left(\sin x\right)\left(\cos x\right)\\\cos 3x&=\left(\cos x\right)^{3}+3\cos x\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&&=4\left(\cos x\right)^{3}-3\cos x\\\sin 3x&=3\left(\cos x\right)^{2}\left(\sin x\right)-\left(\sin x\right)^{3}&&=3\sin x-4\left(\sin x\right)^{3}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \cos(nx)}$ için formülün sağ tarafı gerçekte ${\displaystyle \cos x}$ değerli Çebişev polinomu olan ${\displaystyle T_{n}}$ ifadesinin n(cosx) değeridir.

Bu formül yukarıda verilen hallerden daha geniş hallerde de geçerlidir. Eğer z ve w karmaşık sayılarsa, o halde

${\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}}$

bir çokludeğerli fonksiyon olur ve

${\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)\,}$

ise bir çokludeğerli fonksiyon olmaz. Böylece

${\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)\,}$ ifadesi sunun bir parcasidir ${\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}\,}$.

1 in küpköklerinin karmaşık düzlemde gösterimi

Bu formül bir karmaşık sayı için ninci kökleri bulmak için kullanılabilir. Eğer ${\displaystyle z}$ bir karmaşık sayı ise bu polar koordinatlı olarak şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle z=r\left(\cos x+i\sin x\right)\,}$

O halde

${\displaystyle z^{{}^{\frac {1}{n}}}=\left[r\left(\cos x+i\sin x\right)\right]^{{}^{\frac {1}{n}}}=r^{{}^{\frac {1}{n}}}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]}$

olur. Burada ${\displaystyle k}$ tam sayıdır. ${\displaystyle z}$ için ${\displaystyle n}$ tane değişik kök bulmak için ${\displaystyle k}$ nin ${\displaystyle 0}$ den ${\displaystyle n-1}$e aralığını incelemek gerekir.

• Birimin kökü
• Abraham de Moivre

• Abramowitzm,M. ve Stegun,I.A. (1964) Handbook of Mathematical Functions, New York, Dover Publications, say. 74 (ISBN 0-486-61272-4) (İngilizce)
• De Moivre's Theorem for Trig Identities8 Aralık 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. haz.: Michael Croucher, Wolfram Gösterim Projesi (İngilizce)