Döngüsel kod

${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, n blok uzunluğuna sahip ve ${\displaystyle GF(q)}$ sonlu alanında bir doğrusal kod olsun. Eğer C deki tüm kod sözcükler için c=(c₁,...,c_n) oluyorsa, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, döngüsel kod olarak adlandırılır. ${\displaystyle GF(q)^{n}}$ deki (c_n,c₁,...,c_n-1) ifadesi dairesel sağa kaydırma ile elde edilir. Çünkü bir döngüsel sağa kaydırma, n − 1 döngüsel sola kaydırmaya eşittir. Bir döngüsel kod, döngüsel sola kaydırma ile de tanımlanabilir. Bu yüzden tüm döngüsel kaydırmalar altında sabit kaldığı müddetçe, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ doğrusal kodu kesin döngüseldir.

Döngüsel kodlar, belirli halkalara bağlanabilir. ${\displaystyle R=A[x]/(x^{n}-1)}$, ${\displaystyle A=GF(q)}$ sonlu alanında bir polinom halka olsun. R polinomunda C döngüsel kodun ${\displaystyle (c_{0},\ldots ,c_{n-1})}$ elemanları ${\displaystyle c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}}$ polinomu ile eşleştirilerek belirlenir: Burada bir döngüsel kaydırmaya uygun olarak x ile çarpılır. Ardından C, R sonlu alanında bir ideal olur.

Kod ideal olduğunda indirgenemez kod, döngüsel kod olur. Bu kod indirgenemez polinom ile oluşturulur.

Örneğin, eğer A=${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ ve n=3 olursa, (1,1,0) döngüsel kodundan oluşan kod sözcüğü kümesi aynen şöyle olur:

${\displaystyle ((0,0,0),(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1))\,}$.

${\displaystyle (1+x)}$ ile oluşturularak ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[x]/(x^{3}-1)}$ de ideal hale gelir.

${\displaystyle (1+x)}$, polinom halkasında bir indirgenemez polinom olduğuna dikkat edin. Çünkü kodu indirgenemez.

• Döngüsel artıklık denetimi
• Polinom kod