Cauchy integral teoremi

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, Augustin Louis Cauchy'nin ismine atfedilen Cauchy integral teoremi, karmaşık düzlemdeki holomorf fonksiyonların çizgi integralleri hakkında önemli bir teoremdir. Esasen, teoremin ifade ettiği şudur: İki ayrı yol aynı iki noktayı birbirine bağlıyorsa ve bir fonksiyon bu iki ayrı yolun arasındaki iç bölgede holomorfsa, o zaman fonksiyonun bu iki yol integrali birbirine eşittir.

Teorem, kapalı yollar için ise şu şekilde ifade edilir. U, C 'nin basit bağlantılı açık bir altkümesi olsun. f : U → C holomorf bir fonksiyon olsun ve γ, U içinde başlangıç noktası bitiş noktasıyla aynı olan doğrultulabilir bir yol olsun. O zaman

\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0

eşitliği vardır.

Goursat tarafından gösterildiği gibi, Cauch integral teoremi, U içinde her yerde f 'nin karmaşık türevi olan f '(z) varsa, kanıtlanabilir. Bu önemlidir çünkü bu fonksiyonlar için o zaman Cauchy integral formülü de kanıtlanabilir ve bundan aslında bu fonksiyonların sonsuz kere türevlenebilmesi özelliği çıkar.

U 'nun basit bağlantılı olması koşulu U 'da "delik" olmaması anlamına gelir veya homotopi kavramlarıyla tartışılacak olursa , U 'nun temel grubunun bariz olması demektir. Örneğin, $U=\{z:|z-z_{0}|<r\}$ açık diski bunlardan biridir. Bu şart teoremde çok önemlidir. Birim çemberi dolaşan

\gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right]

düşünüldüğünde,

\oint _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{ie^{it} \over e^{it}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }i\,dt=2\pi i

yol integrali sıfır olmayacaktır. Cauchy integral teoremi, f(z) = 1/z fonksiyonu z = 0 noktasında tanımlı olmadığı (ve tabi holomorf olmadığı) için artık burada geçerli değildir.

Teoremin önemli sonuçlarından birisi basit bağlantılı bölgelerdeki holomorf fonksiyonların yol integrallerinin hesabın temel teoremindekine benzer bir şekilde hesaplanabilmesidir: U, C 'nin basit bağlantılı açık bir kümesi olsun. f : U → C holomorf bir fonksiyon olsun ve γ, başlangıç noktası a, bitiş noktası b olan bir parçalı sürekli türevlenebilir yol olsun. F, f 'nin karmaşık antitürevi ise, o zaman

\int _{\gamma }f(z)\,dz=F(b)-F(a)

eşitliği vardır.

Cauchy integral teoremi üstte verilen halinden biraz daha güçlü halde de geçerlidir. U 'nun sınırı doğrultulabilir bir yolun (mesela γ) görüntüsü olsun ve ayrıca U basit bağlantılı açık bir C altkümesi olsun. f, U üzerinde holomorf olan bir fonksiyonsa ve U 'nun kapanışında sürekliyse, o zaman

\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0

eşitliği vardır.

Cauchy integral teoremi ayrıca Cauchy integral formülü 'nün ve rezidü (kalıntı) teoreminin kanıtlanmasını da sağlar.

KANIT

Cauchy integral teoremi Vektör Analizi'nde ki Green Teoremi ile kanıtlanabilir.Sebebi karmaşık değerli fonksiyonların vektörel fonksiyon gibi davranmasıdır.Kanıt için Cauchy-Riemann denklemlerini kullanmamız gerekir. $\gamma$ kontürü saat yönünün tersi şeklinde bir döngü halinde olsun ve U kümesi basit bağlantılı ve $\mathbb {C}$ kümesinin alt kümesi olsun. $f(z)$ fonksiyonu U gibi bir basit bağlantılı fonksiyonun tümüne holomorf olsun.

$f(z)=u(x,y)+i.v(x,y)$ ve fonksiyonun değişkeninin diferansiyeli $dz=dx+i.dy$ dir.

Bu durumda

$\oint _{\gamma }f(z).dz$ $=\oint _{\gamma }(u+iv)(dx+idy)=\oint _{\gamma }(u.dx-v.dy)+i.\oint _{\gamma }(v.dx+u.dy)$ olacaktır.

Green Teoremine dayanarak

$\oint _{\gamma }(u.dx-v.dy)=\iint \limits _{D}(-{\partial v \over \partial x}-{\partial u \over \partial y}).dx.dy$

$\oint _{\gamma }(v.dx+u.dy)=\iint \limits _{D}({\partial u \over \partial x}-{\partial v \over \partial y}).dx.dy$

Cauchy-Riemann denklemleriyle teorem kanıtlanacaktır.

${\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}$ ve ${\partial v \over \partial x}=-{\partial u \over \partial y}$

$\iint \limits _{D}(-{\partial v \over \partial x}-{\partial u \over \partial y}).dx.dy=$ $\iint \limits _{D}({\partial u \over \partial y}-{\partial u \over \partial y}).dx.dy=0$

$\iint \limits _{D}({\partial u \over \partial x}-{\partial v \over \partial y}).dx.dy=$ $\iint \limits _{D}({\partial u \over \partial x}-{\partial u \over \partial x}).dx.dy$ = 0

Ve sonunda

$\oint _{\gamma }f(z).dz=0$

Ayrıca bakınız

Dış bağlantılar

http://mathworld.wolfram.com/CauchyIntegralTheorem.html 12 Temmuz 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. MathWorld'deki ilgili sayfa.
Cauchy-Goursat Teoremi Modülü, John H. Mathews tarafından 15 Temmuz 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.