Casimir kuvveti

Casimir etkisi iletken metaller ve dielektriklerin varlığının ikinci nicemlenmiş elektromanyetik alan enerjisinin vakum beklenen değerini değiştirir fikri ile anlaşılabilir.[14][15], bu enerjinin değeri şekil ve pozisyonlarda bağlıdır iletkenler ve yalıtkanların, Casimir etkisi gibi nesneler arasında bir güç olarak kendini gösterir.

Casimir tarafından yapılan orijinal hesaplamada, o ${\displaystyle a}$ mesafedeki bir çift ayrı iletken metal levhalar arasındaki boşluğu düşündü. Bir iletkenin yüzeyi üzerinde elektrik alanının enine bileşeni ve manyetik alanın normal bir bileşenidir ortadan gerekir, çünkü, bu durum, özellikle durağan dalgaları hesaplamak için daha kolaydır. Paralel plakaları xy düzlemde yattığı varsayarak, duran dalgaları

${\displaystyle \psi _{n}(x,y,z;t)=e^{-i\omega _{n}t}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}\sin \left(k_{n}z\right)}$

burada ${\displaystyle \psi }$ elektromanyetik alanın elektrik bileşenleri için durumlar, ve, kısalık için, kutuplaşma ve manyetik bileşenleri burada göz ardı edilir. Burada, ${\displaystyle k_{x}}$ ve ${\displaystyle k_{y}}$ plaklar için paralel yön içinde dalga vektörüdür, ve

${\displaystyle k_{n}={\frac {n\pi }{a}}}$

levhaların dik dalga vektörüdür.Burada, n is bir tam sayıdır, gerekli sonuç bu ψ metal levhalar üzerinde kaybolur. Bu dalganın frekansı

${\displaystyle \omega _{n}=c{\sqrt {{k_{x}}^{2}+{k_{y}}^{2}+{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{a^{2}}}}}}$

burada c ışık hızıdır.Vakum enerjisi tüm olası uyarım modlarının üzerindeki toplam ise

${\displaystyle \langle E\rangle ={\frac {\hbar }{2}}\cdot 2\int {\frac {Adk_{x}dk_{y}}{(2\pi )^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\omega _{n}}$

burada A metal levhaların bölgesidir, ve 2'nin bir faktörü dalganın iki olası polarizasyonu için tanımlanır. Bu bağıntı açıkça sonsuzdur ve hesaplama ile devam için,bir düzenleyici tanıtmak için uygundur (aşağıdaki büyük ayrıntı içindeki soru). Düzenleyici ifadeyi sonlu yapmak için hizmet edecek ve sonunda kaldırılacaktır. Plakanın birim alan başına enerjinin zeta-düzenlenir versiyonu

${\displaystyle {\frac {\langle E(s)\rangle }{A}}=\hbar \int {\frac {dk_{x}dk_{y}}{(2\pi )^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\omega _{n}\vert \omega _{n}\vert ^{-s}.}$

sonunda, limit ${\displaystyle s\to 0}$ olarak alınır.Burada s sadece bir karmaşık sayıdır daha önce ele alındığı şekli ile karıştırılmamalıdır. Bu integral/toplam s için sonlu gerçel ve 3'ten büyüktür. Toplam s = 3'te bir kutup var, ama s = 0 için analitik süreklilik olabilir , burada bağıntı sonludur. Yukardaki bağıntı basitleştirilirse:

${\displaystyle {\frac {\langle E(s)\rangle }{A}}={\frac {\hbar c^{1-s}}{4\pi ^{2}}}\sum _{n}\int _{0}^{\infty }2\pi qdq\left\vert q^{2}+{\frac {\pi ^{2}n^{2}}{a^{2}}}\right\vert ^{(1-s)/2},}$

burada polar koordinatlar ${\displaystyle q^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}$ bir tek integral altında çift integral açmak için tanıtılacak ,önündeki ${\displaystyle q}$ Jacobiyendir, ve ${\displaystyle 2\pi }$ açısal integrasyondan gelir. Re[s] > 3 ise integral yakınsaktır, sonuç olarak

${\displaystyle {\frac {\langle E(s)\rangle }{A}}=-{\frac {\hbar c^{1-s}\pi ^{2-s}}{2a^{3-s}}}{\frac {1}{3-s}}\sum _{n}\vert n\vert ^{3-s}.}$

sıfır komşuluğunda s de toplam yakınsaklık, ancak büyük frekans uyarılmalara karşılık gelen sönümlerde ise Riemann zeta fonksiyonu analitik devamına karşılık ises = 0 mantıklı varsayılır fiziksel bir yolla, daha sonra şu var

${\displaystyle {\frac {\langle E\rangle }{A}}=\lim _{s\to 0}{\frac {\langle E(s)\rangle }{A}}=-{\frac {\hbar c\pi ^{2}}{6a^{3}}}\zeta (-3).}$

Ama ${\displaystyle \zeta (-3)=1/120}$ ve böylece elde edilen

${\displaystyle {\frac {\langle E\rangle }{A}}={\frac {-\hbar c\pi ^{2}}{3\cdot 240a^{3}}}.}$

Analitik devamın belirgin bir şekilde tam plakalar arasında yuvasının dışında sıfır nokta enerjisi (yukarıdaki dahil değildir) boyunca muhasebesi, bir ilave pozitif sonsuzluk kaybolur, ama kapalı bir sistem içinde plaka hareketi üzerine bu değişiklikleri oldu. Aralarında vakum ile idealize edilmiş, mükemmel iletken plakaları boyunca ${\displaystyle F_{c}/A}$ birim alan başına Casimir kuvveti

${\displaystyle {F_{c} \over A}=-{\frac {d}{da}}{\frac {\langle E\rangle }{A}}=-{\frac {\hbar c\pi ^{2}}{240a^{4}}}}$

burada

${\displaystyle \hbar }$ (hbar, ħ) indirgenmiş Planck sabitidir,

${\displaystyle c}$ ışığın hızıdır,

${\displaystyle a}$ iki levha arasındakiuzunluktur

Casimir etkisi yüksüz nesneler arasındaki itici kuvvetler ortaya çıkmasına neden olabilir burada birkaç durum vardır. Evgeny Lifshitz (teorik olarak) belirli durumlarda (en sık sıvı içeren) içinde, itici güçler ortaya çıkabileceğini göstermiştir.[16] Bu levitating cihazların gelişimine yönelik Casimir etkisi uygulamaları ilgi yol açtı. Lifshitz tarafından tahmin Casimir-tabanlı itme deneysel bir gösteri yakın zamanda Munday ve ark tarafından yürütülmüştür.[17] Diğer bilim adamları da benzer bir kaldırma etkisi,[18] elde etmek için kazanım ortamı kullanımı önermektedir bu tartışmalı olsa da bu, çünkü malzemeler temel nedensellik kısıtlamaları ve termodinamik denge (Kramers-Kroning ilişkiler) şartını ihlal gibi görünüyor. Casimir ve Casimir-Polder itme aslında yeterince anizotropik elektrik organlar için ortaya çıkabilir; itme ile ilgili konularda bir inceleme için Milton ve ark bakın.[19]