Casey teoremi

${\displaystyle t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0}$

${\textstyle \,O}$, yarıçapı ${\textstyle \,R}$ olan bir çember olsun.${\textstyle \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}}$ (sırasıyla) ${\textstyle \,O}$ içinde yer alan kesişmeyen ve ${\displaystyle \,O}$'ya teğet olan dört çember olsun. ${\textstyle \,t_{ij}}$, ${\textstyle \,O_{i},O_{j}}$${\displaystyle O_{i},O_{j}}$ çemberlerin dış ortak çifte teğet (bitanjant)'inin uzunluğunu göstersin. Buna göre: [2]

${\displaystyle \,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}}$.

Dört çemberin hepsinin noktalara indirgendiği dejenere durumda, bunun tam olarak Batlamyus teoremi olduğuna dikkat edin.

Aşağıdaki kanıt Zacharias[3]'a atfedilebilir[4]. ${\displaystyle \,O_{i}}$ çemberinin yarıçapını ${\displaystyle \,R_{i}}$ ile belirtelim ve çember ile teğet noktasını da${\displaystyle \,K_{i}}$ ile gösterelim. Çemberlerinin merkezleri için${\displaystyle \,O,O_{i}}$ gösterimini kullanacağız. Pisagor teoreminden,

${\displaystyle \,t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}.}$

Bu uzunluğu, ${\displaystyle \,K_{i},K_{j}}$ türünden ifade etmeye çalışacağız . ${\displaystyle \,O_{i}OO_{j}}$ üçgende kosinüs yasasına göre,

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}={\overline {OO_{i}}}^{2}+{\overline {OO_{j}}}^{2}-2{\overline {OO_{i}}}\cdot {\overline {OO_{j}}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}}$

${\displaystyle \,O,O_{i}}$ çemberleri birbirine teğet olduğundan:

${\displaystyle {\overline {OO_{i}}}=R-R_{i},\,\angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j}}$

${\displaystyle \,C}$, ${\textstyle \,O}$çemberinin üzerindeki bir nokta olsun. ${\displaystyle \,K_{i}CK_{j}}$ üçgeninde sinüs yasasına göre:

${\displaystyle {\overline {K_{i}K_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}}$

Bu nedenle,

${\displaystyle \cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}}$

ve bunları yukarıdaki formülde yerine koyarsak:

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)}$

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}$

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}$

Ve son olarak, aradığımız uzunluk;

${\displaystyle t_{ij}={\sqrt {{\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}}$

${\displaystyle \,K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}}$ kirişler dörtgenine uygulanan orijinal Batlamyus teoreminin yardımıyla artık sol tarafı hesaplayabiliriz:

${\displaystyle {\begin{aligned}&t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{2}}}\cdot {\overline {K_{3}K_{4}}}+{\overline {K_{1}K_{4}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{3}}}\right)\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)\\[4pt]={}&t_{13}t_{24}\end{aligned}}}$

Görülebileceği gibi, dört çemberin büyük çemberin içinde olması gerekmiyor. Aslında, ona dışarıdan da teğet olabilirler. Bu durumda aşağıdaki değişiklik yapılmalıdır: [5]

Eğer ${\displaystyle \,O_{i},O_{j}}$, ikisi de ${\displaystyle \,O}$'nun aynı tarafından teğetse (her ikisi de içeriden veya her ikisi de dışarıdan), ${\displaystyle \,t_{ij}}$ dış ortak teğetin uzunluğudur.

Eğer ${\displaystyle \,O_{i},O_{j}}$, ${\displaystyle \,O}$'ya farklı yönlerden teğetse (biri içeriden ve biri dışarıdan), ${\displaystyle \,t_{ij}}$ iç ortak teğetin uzunluğudur.

Casey teoreminin tersi de doğrudur.[5] Yani, eşitlik geçerliyse, çemberler ortak bir çembere teğettir.

Casey teoremi ve tersi, Öklid geometrisindeki çeşitli ifadeleri kanıtlamak için kullanılabilir. Örneğin, Feuerbach teoreminin bilinen en kısa kanıtı [2] ^:411 Casey teoreminin tersini kullanır.

• Eric W. Weisstein, Casey's theorem (MathWorld)
• Shailesh Shirali: On a generalized Ptolemy Theorem, ss. 49-53
• Crux Mathematicorum volume 22 issue 2 (yukarıdaki makaleyi içerir)
• Casey’s Theorem @cut-the-knot
• Casey’s Theorem @geogebra

• Luis Gonzalez. (2011), Casey’s Theorem and its Applications, Makale
• Kin Y. Li. (201), Casey’s Theorem, Makale
• Abrosimov, Nikolay & Mikaiylova, Liudmila. (2015). Casey's theorem in hyperbolic geometry. Siberian Electronic Mathematical Reports. 12. ss. 354-360. 10.17377/semi.2015.12.029.
• Abrosimov, N.V., Aseev, V.V. Generalizations of Casey’s Theorem for Higher Dimensions. Lobachevskii J Math 39, 1–12 (2018). https://doi.org/10.1134/S199508021801002X
• (Japonca) Y. Mikami, (1919), Casey's theorem in Japanese mathematics, Makale

• Casey, J. (1866). "On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane". Proceedings of the Royal Irish Academy. 9: 396-423. JSTOR 20488927.
• Zacharias, M. (1942). "Der Caseysche Satz". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 52: 79-89.
• Bottema, O. (1944). Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde. (translation by Reinie Erné as Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, of the second extended edition published by Epsilon-Uitgaven 1987).
• Johnson, Roger A. (1929). Modern Geometry. Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry).