Caratheodory-Jacobi-Lie teoremi

Diyelim ki M bir 2n-boyutlu simplektik manifold olsun.Simplektik formu ile ω.p ∈ M için ve r ≤ n, diyelimki f₁, f₂, ..., f_r olsun düzgün fonksiyonlar pnin bir V açık komşuluğu olarak tanımlanır.Böylece diferansiyeller her noktada doğrusal bağımlıdır,veya eşdeğeri

${\displaystyle df_{1}(p)\wedge \ldots \wedge df_{r}(p)\neq 0,}$

burada {f_i, f_j} = 0. (Başka bir deyişle onlar involüsyon içinde çifterlidir.) Burada {–,–} Poisson braketidir-ki ise bu fonksiyonlar f_r+1, ..., f_n, g₁, g, ..., g_n pnin U  ⊂  V açık yakın komşuluğunda böylece (f_i,g_i) Mnin bir simpletik kartı, yani,ωifadesi U üzerinde olarak

${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}df_{i}\wedge dg_{i}.}$

Bir direkt uygulama olarak aşağıdakini verebiliriz. Verilen bir Hamiltonyen sistem olarak ${\displaystyle (M,\omega ,H)}$ burada M bir simplektik manifold ile simplektik form ${\displaystyle \omega }$ ve H Hamiltonyen fonksiyondur, burada her nokta çevresinde ${\displaystyle dH\neq 0}$ burada bir simplektik karttır böylece onun koordinatlarının biri Htır.

• Lee, John M., Introduction to Smooth Manifolds, Springer-Verlag, New York (2003) ISBN 0-387-95495-3. Graduate-level textbook on smooth manifolds.