Yaygın koordinat dönüşümleri listesi

${\displaystyle x=r\,\cos \theta \quad }$

${\displaystyle y=r\,\sin \theta \quad }$

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\,\sin \theta \\\sin \theta &r\,\cos \theta \end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}=r}$

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle \theta ^{\prime }=\arctan \left|{\frac {y}{x}}\right|}$

${\displaystyle \theta ^{\prime }}$'yi çözmek için ilk kadran bileşke açı ile döner(${\displaystyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$). ve ${\displaystyle \theta }$ bulunur.Bunun için orijinal kartezyen koordinat başvurmalıdır,${\displaystyle \theta }$'nın kadranını belirlemek ve çözmek için aşağıdakileri kullanın;

${\displaystyle \theta }$

eğer ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ QI'in içindeyse:

${\displaystyle \theta =\theta ^{\prime }}$

eğer ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ QII'nin içindeyse:

${\displaystyle \theta =\pi -\theta ^{\prime }}$

eğer ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ in QIII'ün içindeyse:

${\displaystyle \theta =\pi +\theta ^{\prime }}$

eğer ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ in QIV'ün içindeyse:

${\displaystyle \theta =2\pi -\theta ^{\prime }}$

${\displaystyle \theta }$ değeri için çünkü ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle \tan \theta }$ tüm değerlerinin bu şekilde çözülmesi için gereken yalnızca ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <+{\frac {\pi }{2}}}$ aralığında tanımlı olmalıdır ve periyodik (${\displaystyle \pi }$periodu ile)olmalıdır. Bu ters fonksiyon,sadece fonksiyon etki değerleri vermek anlamına gelir, ancak tek bir period ile sınırlı.Dolayısıyla, ters fonksiyonunu aralığında bir tam yarım daire.

Bir de Aklınızda bulunsun

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {y}{x+r}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x=e^{\rho }\cos \theta ,\\y=e^{\rho }\sin \theta .\end{cases}}}$

Karmaşık sayılar kullanılarak ${\displaystyle (x,y)=x+iy'}$, dönüşümü gibi yazılabilir

${\displaystyle x+iy=e^{\rho +i\theta }\,}$

Bu karmaşık üstel fonksiyonu ile verilir yani.

${\displaystyle {\begin{cases}\rho =\log {\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\\\theta =\arctan {\frac {y}{x}}.\end{cases}}}$

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

${\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

${\displaystyle x={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{4c}}}$

${\displaystyle y=\pm {\frac {1}{4c}}{\sqrt {16c^{2}r_{1}^{2}-(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+4c^{2})^{2}}}}$

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2}}{2}}}}$

${\displaystyle \theta =\arctan \left[{\sqrt {{\frac {8c^{2}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2})}{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}}-1}}\right]}$

Burada 2c kutuplar arasındaki mesafedir.

${\displaystyle x=\int \cos \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds}$

${\displaystyle y=\int \sin \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {x'y''-y'x''}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}}$

${\displaystyle s=\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {r^{2}+2r'^{2}-rr''}{(r^{2}+r'^{2})^{3/2}}}}$ ${\displaystyle s=\int _{a}^{\phi }{\sqrt {1+y'^{2}}}\,d\phi }$

${\displaystyle {x}=\rho \,\sin \theta \,\cos \phi \quad }$

${\displaystyle {y}=\rho \,\sin \theta \,\sin \phi \quad }$

${\displaystyle {z}=\rho \,\cos \theta \quad }$

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\rho \cos \theta \cos \phi &-\rho \sin \theta \sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \sin \phi &\rho \sin \theta \cos \phi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}}$

Böylece hacim ögesi için:

${\displaystyle dx\;dy\;dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}d\rho \;d\theta \;d\phi =\rho ^{2}\sin \theta \;d\rho \;d\theta \;d\phi \;}$

${\displaystyle {x}={r}\,\cos \theta }$

${\displaystyle {y}={r}\,\sin \theta }$

${\displaystyle {z}={h}\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,h)}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Böylece hacim ögesi için:

${\displaystyle dx\;dy\;dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,h)}}dr\;d\theta \;dh={r}\;dr\;d\theta \;dh\;}$

${\displaystyle {\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

${\displaystyle {\phi }=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}$

${\displaystyle {\theta }=\arctan \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)=\arccos \left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\rho }}&{\frac {y}{\rho }}&{\frac {z}{\rho }}\\{\frac {xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\rho ^{2}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\rho }={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

${\displaystyle {\phi }=\phi \quad }$

${\displaystyle {\theta }=\arctan {\frac {r}{h}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (r,\phi ,h)}}={\begin{pmatrix}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}&0&{\frac {h}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}\\{\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}&0&{\frac {-r}{r^{2}+h^{2}}}\\0&1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (r,\theta ,h)}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}}$

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle \theta =\arctan {\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y}$

${\displaystyle h=z\quad }$

${\displaystyle {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Not: Bu bölümün isimlendirme ile tutarlılık için güncellenmesi gerekir. Bir diyagramda her bir değişkenin neyi temsil ettiğini gösteren bu makale içine dahil edilmelidir. Genellikle ${\displaystyle \theta \,}$ küresel koordinatlar ve ${\displaystyle \phi \,}$ silindirik koordinatlar için düzlem açısı için polar açıyı temsil eder. Burada iki karışık ve karışıklığa neden olabilir.

${\displaystyle r=\rho \sin \phi \,}$

${\displaystyle \theta =\theta \,}$

${\displaystyle h=\rho \cos \phi \,}$

${\displaystyle {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{pmatrix}\sin \phi &0&\rho \cos \phi \\0&1&0\\\cos \phi &0&-\rho \sin \phi \end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}=-\rho }$

${\displaystyle s=\int _{0}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}\,dt}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}}$

${\displaystyle \tau ={\frac {z'''(x'y''-y'x'')+z''(x'''y'-x'y''')+z'(x''y'''-x'''y'')}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})(x''^{2}+y''^{2}+z''^{2})}}}$