Vektör küresel harmonikler

Skaler küresel harmonikleri gibi, VSH eldesi

${\displaystyle \mathbf {Y} _{l,-m}=(-1)^{m}\mathbf {Y} _{lm}^{*}\qquad \mathbf {\Psi } _{l,-m}=(-1)^{m}\mathbf {\Psi } _{lm}^{*}\qquad \mathbf {\Phi } _{l,-m}=(-1)^{m}\mathbf {\Phi } _{lm}^{*}}$

VSH genellikle üç-boyutlu yol içinde diktir

${\displaystyle \mathbf {Y} _{lm}\cdot \mathbf {\Psi } _{lm}=0\qquad \mathbf {Y} _{lm}\cdot \mathbf {\Phi } _{lm}=0\qquad \mathbf {\Psi } _{lm}\cdot \mathbf {\Phi } _{lm}=0}$

Ve Hilbert uzayı için

${\displaystyle \int \mathbf {Y} _{lm}\cdot \mathbf {Y} _{l'm'}^{*}\,\mathrm {d} \Omega =\delta _{ll'}\delta _{mm'}}$

${\displaystyle \int \mathbf {\Psi } _{lm}\cdot \mathbf {\Psi } _{l'm'}^{*}\,\mathrm {d} \Omega =l(l+1)\delta _{ll'}\delta _{mm'}}$

${\displaystyle \int \mathbf {\Phi } _{lm}\cdot \mathbf {\Phi } _{l'm'}^{*}\,\mathrm {d} \Omega =l(l+1)\delta _{ll'}\delta _{mm'}}$

${\displaystyle \int \mathbf {Y} _{lm}\cdot \mathbf {\Psi } _{l'm'}^{*}\,\mathrm {d} \Omega =0}$

${\displaystyle \int \mathbf {Y} _{lm}\cdot \mathbf {\Phi } _{l'm'}^{*}\,\mathrm {d} \Omega =0}$

${\displaystyle \int \mathbf {\Psi } _{lm}\cdot \mathbf {\Phi } _{l'm'}^{*}\,\mathrm {d} \Omega =0}$

Diklik ilişkilerinin hesaplanmasında bir vektör alanının küresel çoklu kutupsal momentleri

${\displaystyle E_{lm}^{r}=\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {Y} _{lm}^{*}\,\mathrm {d} \Omega }$

${\displaystyle E_{lm}^{(1)}={\frac {1}{l(l+1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Psi } _{lm}^{*}\,\mathrm {d} \Omega }$

${\displaystyle E_{lm}^{(2)}={\frac {1}{l(l+1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Phi } _{lm}^{*}\,\mathrm {d} \Omega }$

Verilen bir skaler alanın çoklu kutupsal açılımı

${\displaystyle \phi =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\phi _{lm}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )}$

VSH'nin terimleri içinde gradiyent yazabiliriz

${\displaystyle \nabla \phi =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left({\frac {\mathrm {d} \phi _{lm}}{\mathrm {d} r}}\mathbf {Y} _{lm}+{\frac {\phi _{lm}}{r}}\mathbf {\Psi } _{lm}\right)}$

Herhangi çok kutuplu alan için eldemiz

${\displaystyle \nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {Y} _{lm}\right)=\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}+{\frac {2}{r}}f\right)Y_{lm}}$

${\displaystyle \nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{lm}\right)=-{\frac {l(l+1)}{r}}fY_{lm}}$

${\displaystyle \nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{lm}\right)=0}$

Üstüstelik ile herhangi vektör alanının yakınsaklığı elde edilir

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left({\frac {\mathrm {d} E_{lm}^{r}}{\mathrm {d} r}}+{\frac {2}{r}}E_{lm}^{r}-{\frac {l(l+1)}{r}}E_{lm}^{(1)}\right)Y_{lm}}$

${\displaystyle \mathbf {\Phi } _{lm}}$ üzerinde gözleyebieceğimiz her zaman solenoidaldir.

Herhangi çoklukutup alanı için elimizde olan

${\displaystyle \nabla \times \left(f(r)\mathbf {Y} _{lm}\right)=-{\frac {1}{r}}f\mathbf {\Phi } _{lm}}$

${\displaystyle \nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{lm}\right)=\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Phi } _{lm}}$

${\displaystyle \nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{lm}\right)=-{\frac {l(l+1)}{r}}f\mathbf {Y} _{lm}-\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Psi } _{lm}}$

üstüstelik ile herhangi vektör alanının curl'unu elde ederiz

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left(-{\frac {l(l+1)}{r}}E_{lm}^{(2)}\mathbf {Y} _{lm}-\left({\frac {\mathrm {d} E_{lm}^{(2)}}{\mathrm {d} r}}+{\frac {1}{r}}E_{lm}^{(2)}\right)\mathbf {\Psi } _{lm}+\left(-{\frac {1}{r}}E_{lm}^{r}+{\frac {\mathrm {d} E_{lm}^{(1)}}{\mathrm {d} r}}+{\frac {1}{r}}E_{lm}^{(1)}\right)\mathbf {\Phi } _{lm}\right)}$

• ${\displaystyle l=0\,}$

• ${\displaystyle \mathbf {Y} _{00}={\sqrt {\frac {1}{4\pi }}}{\hat {\mathbf {r} }}}$

• ${\displaystyle \mathbf {\Psi } _{00}=\mathbf {0} }$

• ${\displaystyle \mathbf {\Phi } _{00}=\mathbf {0} }$

• ${\displaystyle l=1\,}$

• ${\displaystyle \mathbf {Y} _{10}={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }}}$
• ${\displaystyle \mathbf {Y} _{11}=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }\sin \theta \,{\hat {\mathbf {r} }}}$

• ${\displaystyle \mathbf {\Psi } _{10}=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}}$
• ${\displaystyle \mathbf {\Psi } _{11}=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+\mathrm {i} \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right)}$

• ${\displaystyle \mathbf {\Phi } _{10}=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}}$
• ${\displaystyle \mathbf {\Phi } _{11}={\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }\left(\mathrm {i} \,{\hat {\mathbf {\theta } }}-\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right)}$

m'in negatif değer için bağıntı simetri ilişkileri uygulamaları ile elde ediliyor.

VSH çoklu kutupsal ışıma alanlarının çalışması içinde özellikle kullanışlıdır. Örneğin, bir manyetik çoklukutuplar ${\displaystyle \omega \,}$ açısal frekans ile bir akım salınımı ve karmaşık genliğin her ikisidir

${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}=J(r)\mathbf {\Phi } _{lm}}$

ve elektrik ve manyetik alanlarının karşılığı olarak yazılabilir

${\displaystyle {\hat {\mathbf {E} }}=E(r)\mathbf {\Phi } _{lm}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {B} }}=B^{r}(r)\mathbf {Y} _{lm}+B^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{lm}}$

Maxwell denklemlerinde yerine koymayla, Gauss' kanunu otomatik eldesi

${\displaystyle \nabla \cdot {\hat {\mathbf {E} }}=0}$

iken Faraday'ın ayırma kanunu ile

${\displaystyle \nabla \times {\hat {\mathbf {E} }}=-\mathrm {i} \omega {\hat {\mathbf {B} }}\qquad \Rightarrow \qquad \left\{{\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {l(l+1)}{r}}E=\mathrm {i} \omega B^{r}\\\ \\\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} r}}+{\frac {E}{r}}=\mathrm {i} \omega B^{(1)}\end{array}}\right.}$

içinde

magnetik alan vurgusu için Gauss kanunu

${\displaystyle \nabla \cdot {\hat {\mathbf {B} }}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {\mathrm {d} B^{r}}{\mathrm {d} r}}+{\frac {2}{r}}B^{r}-{\frac {l(l+1)}{r}}B^{(1)}=0}$

ve Ampère-Maxwell'in de

${\displaystyle \nabla \times {\hat {\mathbf {B} }}=\mu _{0}{\hat {\mathbf {J} }}+\mathrm {i} \mu _{0}\varepsilon _{0}\omega {\hat {\mathbf {E} }}\quad \Rightarrow \quad -{\frac {B^{r}}{r}}+{\frac {\mathrm {d} B^{(1)}}{\mathrm {d} r}}+{\frac {B^{(1)}}{r}}=\mu _{0}J+\mathrm {i} \omega \mu _{0}\varepsilon _{0}E}$

Bu yol içinde, kısmi diferansiyel denklem adi diferansiyel denklemin bir kümesi içinde dönüştürülmektedir.