Sonuşmaz

f(x) = 1/x fonksiyonunun, biri yatay, biri düşey olmak üzere iki sonuşmazı vardır.

Sonuşmazlar limit kavramıyla tanımlanabilir. Herhangi bir ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ fonksiyonu için,

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=a}$   veya   ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=a}$

önermelerinden biri doğruysa, y = a doğrusu, f fonksiyonu için bir yatay sonuşmazdır. Birinci önermenin doğru olduğunu varsayalım. Bu durumda, x değerini yeterince büyük seçersek, f(x) değerini a değerine istediğimiz kadar yaklaştırabiliriz. Bir başka deyişle, x ekseni üzerinde sonsuza doğru ilerledikçe, fonksiyon grafiği y = a çizgisine yaklaşacaktır. İkinci önerme doğruysa da, x ekseni üzerinde eksi sonsuza doğru ilerlemek aynı sonucu verecektir.

Örneğin, y = 0 çizgisi (ya da x ekseni), f(x) = 1/x fonksiyonu için bir yatay sonuşmazdır.

Benzer şekilde,

${\displaystyle \lim _{x\uparrow b}f(x)=\pm \infty }$   veya   ${\displaystyle \lim _{x\downarrow b}f(x)=\pm \infty }$

önermelerinden biri doğruysa, x = b doğrusu, f fonksiyonu için bir düşey sonuşmazdır. Bu durumda, x değeri b^,ye yaklaştıkça, f(x) değeri artı veya eksi sonsuza doğru ilerler. Bir başka deyişle, x ekseni üzerinde adım adım b^,ye yaklaşırsak, fonksiyon grafiği artı veya eksi sonsuz yönünde büyüyecektir (ki buna matematikte "patlama" denir).

Örneğin, x = 0 çizgisi (ya da y ekseni), f(x) = 1/x fonksiyonu için bir düşey sonuşmazdır.

Mavi renkle gösterilen y = x doğrusu, f(x) = x + 1/x fonksiyonu için bir eğik sonuşmazdır.

Sonuşmazlar yatay ya da düşey olmak zorunda değildir. Herhangi bir ${\displaystyle p:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ doğrusu, aşağıdaki şartlardan birini sağlıyorsa, f fonksiyonu için bir eğik sonuşmazdır:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }(f(x)-p(x))=0}$   veya   ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }(f(x)-p(x))=0\,.}$

Örneğin, y = x doğrusu, f(x) = x + 1/x fonksiyonu için bir eğik sonuşmazdır. Aynı fonksiyonun bir de düşey sonuşmazı vardır: x = 0. Kimi kaynaklarda, yukarıdaki iki şarttan birini sağlayan her p(x) fonksiyonuna (doğru olmasa da) eğik sonuşmaz denir. Bu tanıma göre, örneğin y = x² parabolü, f(x) = x² + 1/x fonksiyonu için bir eğik sonuşmazdır.

• MathWorld'den sonuşmaz sayfası (İngilizce)