Siyah cisim radyasyonu

Siyah cisim ışıması karakteristik ve cismin sadece sıcaklığına bağlı olan tayfsal enerji dağılımı yapan Planck Spektrumu gerçekleştirir. Spektrum kendi karakteristik frekansında zirvededir ve artan sıcaklıkla birlikte daha yüksek frekanslara geçiş yapar ve oda sıcaklığında ışımaların çoğu elektromanyetik spektrumun kızılötesi bölgesi gibidir. Sıcaklığın 500 celcius’a yükselmesiyle, önemli miktarda görülebilir ışınlar yayılmaya başlar. Karanlıkta incelenen ilk soluk parıltı gridir. Sıcaklığın artmasıyla, parıltı görülebilir olmaya başlar hatta sistemde arka plan olduğunda ışık; donuk kırmızı, sarı ve son olarak göz kamaştırıcı mavi-beyaz olur. Cisim beyaz olduğunda, önemli bir bölümü ultraviyole ışınları yayar. 5800K sıcaklığındaki Güneş hemen hemen siyah cisimdir; merkezi spektrumun en fazla olduğu yerdir ve Güneş’in sarı-yeşil kısmı ultraviyole ile birlikte görünen spektrumun olduğu yerdir . Siyah cisim ışıması, oyuk ışıması aşamasında, içsel termodinamik dengeyi sağlar. Eğer denge ışımasının her bir Fourier biçimi yansıtmalı duvarları ve enerji değiştirme becerisi olan boş bir oyukta gerçekleşseydi, klasik fizikteki eşdağılım teoremine gore her biçim için eşit miktarda enerji olurdu. Sonsuz sayıda mod olduğu için, bu durum sonsuz ısı sığası aynı zamanda yayılan ışımanın fiziksel olmayan spektrumu frekanstan bağımsız olarak arttığı anlamına gelir ve buna ultraviyole dönüm noktası denir. Deneysel gözlem ve dönüm noktasının nicel çözümlenimi ile yüksek frekansta spektrumu kesmek kuantum alan kuramını biçimlerinin nicemlenmesinde uzlaşmayı sağlamıştır.Siyah cisim kanunları ve klasik fiziğin siyah cismi tanımlarken yetersiz kalması kuantum mekaniğinin ortaya çıkmasına yardım etmiştir.

Tüm maddeler sıcaklıkları mutlak 0’ın üstünde iken elektromanyetik ışıma yayar. Bu ışıma maddenin termal enerjisini elektromanyetik enerjiye dönüştürür bu olay termal ışıma olarak adlandırılır. Bu olay entropinin dağılımının doğal bir sürecidir. Diğer taraftan, tüm maddeler elektromanyetik ışımayı eşit derecede soğururlar. Tüm dalga boyundaki ışımaları tamamı ile soğuran maddelere siyah cisim denir. Siyah cisim, değişmeyen bir sıcaklıktayken, yansıması sadece sıcaklığa bağlı olan karakteristik frekans dağılımına sahiptir. Bu yansımaya siyah cisim ışıması denir. %100 siyah cisimler doğada bulunmasa da siyah cismin kavramı idealleştirmedir, İs karası ve grafit 0.95’ten daha büyük bir salım gücüne sahip olmasına rağmen siyah cisme en yakın örneklerdir. Siyah cisim ışıması deneysel olarak, değişmeyen sıcaklıkta tamamen opak ve kısmen yansıtan eninde sonunda kararlı hal denge ışıması yapacak olan katı cisimler olarak belirlenmiştir.Sabit sıcaklıkta küçük bir deliği olan kapalı bir kutudaki grafit duvarları başlangıçtan yayılan siyah cisim ışımasına iyi bir örnek teşkil eder. Siyah cisim ışımasının ışınımsal yoğunluğu termodinamik dengede sürüp gidebilen kendi eşsiz dağılımına sahiptir. Dengede, cisimden yansıyan ve yayılan ışımanın toplam yoğunluğu her bir frekans için denge sıcaklığı ile kararlı hale getirilmiştir, ve şekle, maddenin cinsine ya da yapısına bağlı değildir. Siyah cisim için, yansıyan ışıma yoktur yani spektral parlaklık tamamıyla ışınım sayesinde olur. Buna ek olarak, siyah cisim homojen olarak yayılır. (Yayılımı yönünden bağımsızdır.) Sonuç olarak, siyah cisim ışıması termal dengedeki siyah cismin yayılmasıdır.

The temperature of a Pāhoehoe lava flow can be estimated by observing its color. The result agrees well with measured temperatures of lava flows at about 1.000 ila 1.200 °C (1.830 ila 2.190 °F).

Fırının içindeki enerji miktarı hacim vs. frekans grafiğindeki siyah cisim eğrileriyle bulunur. Farklı eğimler sıcaklık değiştirilerek elde edilir.Siyah cisim ışıması, yeteri kadar yüksek sıcaklık sağlanırsa görülebilir parlak ışığa dönüşür. Draper noktası tüm katılar için renklerinin soluk kırmızı olduğu sıcaklıktır, 798 K’e eşittir. Cisim bir fırında 1000K’e kadar ısıtıldığında dışarıdan kırmızı görünür, sıcaklığı 6000K’e çıktığında ise beyaz görünür. Cismin ne olduğunun ya da fırının ne kadar donanımlı olduğunun önemi yoktur, tüm ışık fırının duvarı tarafından emildiğinde cisimlerin hepsi siyah cisim ışımasına oldukça yaklaşık bir örnek teşkil eder. Işığın spektrumu ve rengi boşluğun sıcaklığının bir işlevi olarak ortaya çıkar. Prevost’un takas prensibine göre aynı sıcaklık ve aynı termal dengedeki iki cisimlerden biri T sıcaklığında ışık huzmesi içinde kalırsa ışık huzmesinin soğurduğu kadar ışığı yansıtır, ve bu ışınımsal dengeyi sağlar. Detaylı denge prensibi termodinamik dengede tüm sürecin eşit çalıştığını söyler. Prevost ayrıca şunu da göstermiştir; cismin yaptığı ışıma mantıken iç durumunun kararlılığına bağlıdır. Termodinamik emmenin etkisi termodinamik ışıma ile direkt olarak alakalı değildir, ancak yine de cismin iç durumunu etkiler. Bu şu anlama gelir; termodinamik denge her dalga boyunun miktarının her yöndeki termal ışımanın T sıcaklığındaki cisim tarafından yansıtılmasıdır, siyah ya da değil, bu durum cismin T sıcaklığında soğurduğu ışıkla da ilişkilidir ve soğurulan ışık ile yansıtılan ışık eşit miktardadır. Cisim siyahken, soğurma barizdir: yüzeye ulaşan tüm ışık soğurulur. Siyah bir cismin dalga boyu çok daha büyüktür, herhangi bir dalga boyunda soğurulan ışık enerjisi tam anlamıyla siyah cismin kıvrımlarıyla orantılıdır. Bu siyah cismin kıvrımlarının yansıtılan ışık enerjisi miktarına eşit olduğu anlamına gelir. Bu Kirchhoff’un termal ışıma kanununun uygulanması için gereken koşuldur: Siyah cisim kıvrımı termal ışığın sadece oyuğun duvarlarının sıcaklığına bağlı olan ve boşluğun duvarlarının tamamen opak ya da ışığı daha az yansıtan bir cisim olmasını engelleyen ve termal dengedeki oyuk (cavity) niteliğidir. Siyah cisim küçükken boyutu ışığın dalga boyu ile karşılaştırılabilir, soğurum değiştirilir çünkü küçük bir obje uzun dalga boylu ışığın çok iyi bir soğurucusu değildir, ancak yansıtma ve soğurmanın sert eşitlik prensibi her zaman termodinamik denge durumunu korur. Labarotuvarda, siyah cisim ışıması küçük bir delikten büyük bir oyuğa doğru yapılabilir, bir kısmı yansıtıcı, tamamı opak cismin sıcaklığı sabit tutulur. (Bu teknik oyuk ışımasının alternatif bir versiyonudur.) Boşluğa giren ışık oyuğun duvarları tarafından oyuktan çıkana kadar yansıtılır, bu süreç ışığın soğurulması için yapılır. Soğurma oyuğa giren ışımanın dalga boyundan bağımsız gerçekleşir. Delik, kuramsal olarak siyah cisme en yakın objedir ve oyuk ısıtılırsa deliğin ışıma spektrumu devam eder ve sadece duvarın opaklığı ve yansıtıcılığına bağlıdır ancak oyuğun ve deliğin yapıldığı materyale belirgin olarak bağlı değildir. 19. yüzyılın sonlarında kuramsal fizikteki ana sorun siyah cismin kıvrımlarını hesaplamaktı.Bu problem 1901 yılında Max Planck tarafından, Planck’in siyah cisim ışıması kanunu ile çözülmüştür.Planck, Wien’in ışıma kanunda yaptığı termodinamik ve elektromanyetizmaya uygun değişikliklerle deneysel bilgilere uyan matematiksel ifadeler bulmuştur.Planck, oyuktaki osilatörlerin enerjisinin sayısal olarak belirlenmek zorunda olduğunu varsaydı, yani miktarın sayısal olarak belirtilebileceğini düşündü.Einstein, bu düşünceyi temellendirerek elektromanyetik ışımayı sayısal olarak 1905te fotoelektrik olayla açıkladı. Bu kuramsal ilerlemeler sonucunda kuantum elektrodinamiği klasik elektromanyetizmanın yerini almıştır.Foton olarak anılan nicel paketleri ve siyah cisim oyuğu fotonların gazını kapsayan cisimler olarak düşünülmüştür.Buna ek olarak, her bir parçacık, bozon ve fermiyon için uygulanabilen fotoelektrik olay kuantumun dağılım olasılığı; Bose-Einstein istatistiği ve Fermi-Dirac istatistiğinin gelişimine önderlik etmiştir. Işımanın en güçlü olduğu dalga boyu Wien’in yer değiştirme kanunu ile bulunur, yansıtılan toplam güç ise Stefan-Boltzmann kanunu ile bulunur.Böylece, sıcaklık yükseldikçe, parıltının rengi de kırmızıdan sarıya, sarıdan beyaza, beyazdan maviye doğru değişir. Dalga boyu zirvedeyken ultraviyoleye dönüşür, ve yeteri kadar ışıma mavi dalga boyu olarak yansımaya devam ederse cisim mavi olarak görünür. Cisim asla görünmez olmaz, hatta görünür ışığın ışıması monoton olarak sıcaklıkla birlikte artar. Parlaklık ya da gözlemlenen yoğunluk yönün işlevi değildir. Bu yüzden siyah cisim kusursuz bir Lambertian radyatörüdür. Gerçek cisimler asla tam olarak siyah cisim gibi davranmaz, ve onun yerine verilen frekanstaki en uygun kısmı yansıtırlar. Bir maddenin yayım gücü o maddenin siyah cisimle karşılaştırıldığında ne kadar enerji yansıttığını belirler. Bu yayım gücü dalga boyu, sıcaklık ve ışıma açısı faktörlerine bağlıdır. Ancak, mühendislikte yüzeyin spektral yayım gücü ve emme sığası dalga boyuna bağlı değildir, bu yüzden yayım gücü sabittir. Bu gri cisim varsayımı olarak bilinir. [[Dosya:Ilc 9yr moll4096.png|küçükresim|300px|9-year WMAP image (2012) of the cosmic microwave background radiation across the universe. Siyah olmayan yüzeylerde, ideal siyah cisim halinden sapma durumu yüzey alanın sertliği ya da taneselliği ve kimyasal bileşenlerine göre kararlaştırılır. Her bir dalga boyu temelinde, gerçek objeler termodinamik denge durumundayken Kirchhoff’un kanununu takip eder: salım gücü emme sığasına eşittir, bu yüzden bir obje gelen tüm ışığın hepsini soğurmaz ve siyah cismin yansıttığından daha az ışığı yansıtır; düşen ışığın bir kısmı cisimden iletilmiştir ya da cismin yüzeyinden yansıtılmıştır bu yüzden soğurma eksik olarak gerçekleşir. Astronomide, yıldız gibi cisimler genel olarak siyah cisim olarak görülür, ancak bu eksik bir yaklaşımdır. Siyah cisim spektrumunun neredeyse sergilendiği olay kozmik mikrodalga arka planı ışımasıdır. Hawking ışıması siyah cisim ışımasının kara delikler tarafından kütleye bağlı bir sıcaklıkta, deliğin dönmesi ve yüklenmesiyle gerçekleştiğini iddia eden bir varsayımdır. Eğer bu tahmin doğruysa, kara delikler foton ve diğer parçacıkların yaptığı ışıma sonucunda gittikçe küçülecek ve buharlaşacaktır. Siyah cisimler tüm frekanslarda enerji ışıması yaparlar, ancak yüksek frekanslarda yoğunluğu hızlıca sıfıra düşmeye başlar.Örneğin; 300K oda sıcaklığında bir metrekarelik yüzey alanı olan bir siyah cisim, her 41 saniye de görünür aralıklarda (390-750 nm) foton yansıtır, yine de birçok elverişli ortamda siyah cisim görünebilir aralıklarda yansıma yapmaz.

Planck’ın kanunu şunu belirtir;

${\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}.}$ T sıcaklığındaki siyah cismin; normal yönde birim başında frekansı, birim başında katı açısı olan yansıtan yüzeyde birim alandaki ışıyan birim zamandaki enerjisidir. h Planck sabiti; c Işığın boşluktaki hızı; k Boltzmann sabiti; ν Elektromanyetik ışımanın frekansı; ve T Cismin kesin sıcaklığıdır. Wien’in yerdeğiştirme kanunu, herhangi bir sıcaklıktaki siyah cisim ışımasının spektrumunun herhangi bir sıcaklıktaki spektrum ile bağlantısını gösterir. Eğer bir sıcaklıktaki spektrumun formunu biliyorsak, geri kalan tüm sıcaklıklardaki formunu hesaplayabiliriz.Spektral yoğunluk dalga boyu ya da frekansın işlevi olarak ifade edilebilir. Wien’in yer değiştirme kanunun bir sonucu da ışımanın birim başındaki dalga boyu yoğunluğunun,, sadece sıcaklığa bağlı bir işlev olmasıdır.

${\displaystyle \lambda _{\max }={\frac {b}{T}}}$ b Wien’in yer değiştirme sabitidir ve 2.8977721(26)×10−3 K m. ‘ye eşittir. Yukarıda belirtilen Planck’ın kanunu da frekans işlevidir. Dalga boyunun maksimum yoğunluğu;

${\displaystyle \nu _{\max }=T\times 58.8\ \mathrm {GHz} \ \mathrm {K} ^{-1}}$ e eşittir.

Stefan–Boltzmann kanunu Stefan-Boltzmann kanunu siyah cismin yüzeyinde birim alanda yansıtılan güç, cismin kesin sıcaklığının dördüncü kuvveti ile direkt olarak orantılı olduğunu belirtir.

${\displaystyle j^{\star }=\sigma T^{4},}$

 j* birim alanda ışıyan toplam güç, T kesin sıcaklık ve,  σ = 5.67×10−8 W m−2 K−4 , Stefan-Boltzmann sabitidir.

Tüm maddeler gibi, insan vücudu da kendi enerjisinin bir kısmını kızılötesi ışını olarak yayar. Yayılan net güç,yansıyan ve soğurulan gücün farkı ile bulunur:

${\displaystyle P_{\mathrm {net} }=P_{\mathrm {emit} }-P_{\mathrm {absorb} }.\,}$

Stefan-Boltzmann kanunu uygulanınca,

${\displaystyle P_{\rm {net}}=A\sigma \varepsilon \left(T^{4}-T_{0}^{4}\right).}$

Erişkin bir insan vücudunun yüzey alanı 2 m² ve derinin orta ve uzak yayım gücü ametallerde olduğu kadardır.Vücut sıcaklığı 33 °C civarındadır ortam sıcaklığı 20 °C iken giyinmek vücut yüzeyindeki sıcaklığı 28 °Cye kadar düşürür. Bu yüzden net ışınımsal sıcaklık kaybı;

${\displaystyle P_{\rm {net}}=100\ \mathrm {W} .}$ kadardır.

Gün içinde yayılan toplam enerji 9 MJ (megajoule) ya da 2000 kcal kadardır. 40 yaşında bir adam için bazal metabolizma oranı 35 kcal/(m²·h), yüzey alanı 2 m² sayılırsa her gün için 1700 kcal’ye, eşittir. Ancak, hareketsiz yetişkinlerin ortalama metabolik hızı bazal metabolik hızlarının %50-%70’I kadardır.Isıyayım ve buharlaşmayı da içeren başka enerji kayıpları da vardır.Isı iletimi göz ardı edilebilir düzeydedir, Nusselt sayısı biriminden çok daha büyüktür,. Terleme yoluyla buharlaşma, ısıyayım ve ışıma sıcaklığı sabit tutmada yetersizse (ancak akciğerlerdeki buharlaşma bundan bağımsızdır) gereklidir.Serbest ısıyayımı, her ne kadar daha düşük düzeyde olsa da, ışı yayımı ile benzerdir. Böylece, ışınım soğuktaki termal enerji kaybını açıklar, durgun hava.Belirtilmiş olan birçok varsayımın yaklaşık doğal durumu ancak basit bir tahmin olarak kabul edilebilir. Isıyayımına neden olan ortamın hava hareketi ya da ışımanın göreli önemi termal kayıp mekanizması olarak sayılır. Wien’in kanununun insan vücudu ışımasına uygulandığında zirvedeki dalga boyu bulunur.

${\displaystyle \lambda _{\rm {peak}}={\frac {2.898\times 10^{-}3\ \mathrm {K} \cdot \mathrm {nm} }{305\ \mathrm {K} }}=9.50\ \mu \mathrm {m} .}$

Bu nedenle denekler için termal görüntü cihazlarının en hassas olduğu aralık 7-14 mikrondur. Gezegen ve Yıldızının Arasındaki Sıcaklık İlişkisi Siyah cisim kanunu Güneş’in etrafında dönen gezegenlerin sıcaklığını tahmin etmek için kullanılabilir.

Earth's longwave thermal radiation intensity, from clouds, atmosphere and ground

Bir gezegenin sıcaklığı bazı faktörlere bağlıdır:

Yıldızının yaptığı özel ışıma

Gezegenin yansıyan ışıması, (Dünyanın kızılötesi parıltısı)

Gezegenden yansıyan ışığın kırılmasına neden olan yansıtabilirlik etkisi

Atmosfer ve gezegenler arasındaki sera etkisi

Radyoaktivite, tidal ısınması, Kelvin-Helmholtz mekanizmasından dolayı gezegen tarafından üretilen enerji

Bu nicel çözümlenim sadece Güneş sistemindeki, Güneş tarafından ısıtılan gezegenler için geçerlidir. Stefan-Boltzmann kanunu Güneş’in yansıttığı toplam gücü verir;

The Earth only has an absorbing area equal to a two dimensional disk, rather than the surface of a sphere.

${\displaystyle P_{\rm {S\ emt}}=4\pi R_{\rm {S}}^{2}\sigma T_{\rm {S}}^{4}\qquad \qquad (1)}$

${\displaystyle \sigma \,}$Stefan Boltzmann sabiti,

${\displaystyle T_{\rm {S}}\,}$ Güneş’in geçerli sıcaklığı ve,

${\displaystyle R_{\rm {S}}\,}$Güneş’in yarıçapı.

Güneş bu gücü eşit olarak her yöne yayar.Bu yüzden gezegenlere bu gücün sadece bir kısmı isabet eder.Güneşten gelen gücün gezegene çarpan kısmı;

${\displaystyle P_{\rm {SE}}=P_{\rm {S\ emt}}\left({\frac {\pi R_{\rm {E}}^{2}}{4\pi D^{2}}}\right)\qquad \qquad (2)}$ ile hesaplanır.

${\displaystyle R_{\rm {E}}\,}$gezegenin yarıçapı,

${\displaystyle D\,}$astronomik birim, Güneş ve gezegen arasındaki uzaklık.

Yüksek sıcaklığı yüzünden Güneş, yüksek ölçüde görülebilir ve ultraviyole frekans aralığında ışınlar yayar. Bu frekans aralığı, gezegen enerjisinin (${\displaystyle \alpha }$) kadarını yansıtır, (${\displaystyle \alpha }$) UV-Vis aralığında gezegenin reflektansıdır. Başka bir deyişle, gezegen Güneş’in ışığının (${\displaystyle 1-\alpha }$) kadarını soğurur, ve geri kalanını yansıtır.Atmosferin ve gezegenin soğurduğu güç;

${\displaystyle P_{\rm {abs}}=(1-\alpha )\,P_{\rm {SE}}\qquad \qquad (3)}$

Gezegen sadece dairesel bir alanı soğursa da ,(${\displaystyle \pi R^{2}}$) silindir olarak her yöne eşit bir ışık yayımı yapar. Eğer gezegen tam anlamıyla bir siyah cisim olsaydı Stefan-Boltzmann kanununa göre yansıtma yapardı:

${\displaystyle P_{\rm {emt\,bb}}=4\pi R_{\rm {E}}^{2}\sigma T_{\rm {E}}^{4}\qquad \qquad (4)}$

(${\displaystyle T_{\rm {E}}}$) gezegenin sıcaklığıdır. Bu sıcaklık gezegen siyah cisim olması durumu için hesaplanmıştır (${\displaystyle P_{\rm {abs}}=P_{\rm {emt\,bb}}}$), etkili sıcaklık olarak bilinir. Gezegenin gerçek sıcaklığı muhtemelen yüzeyine ve atmosferik özelliklerine göre farklılık gösterir. Sera etkisi ve atmosferi yok sayarsak gezegen, Güneş’ten daha az sıcak olduğu için çoğunlukla spektrumun kızılötesi (IR) kısmını yansıtır. Bu frekans aralığında yansıttığı ışıma,  (${\displaystyle {\overline {\epsilon }}}$), siyah cismin yansıttığı ortalama yayım oranındaki kızılötesi aralığında olur. Gezegen tarafından yansıtılan güç;

${\displaystyle P_{\rm {emt}}={\overline {\epsilon }}\,P_{\rm {emt\,bb}}\qquad \qquad (5)}$

Bir cismin ışınımsal çevresiyle olan ışınımsal dengesi, yansıttığı ışınım enerjisinin soğurduğu ile eşit olmasıdır:

${\displaystyle P_{\rm {abs}}=P_{\rm {emt}}\qquad \qquad (6)}$

Güneş’in ve gezegenin gücünü yerine 1-6 eşitliğinde yerine koyar , gezegenin muhtemel sıcaklığını basitleştirerek yazar ve sera etkisini yok sayarsak, TP :

${\displaystyle T_{P}=T_{S}{\sqrt {\frac {R_{S}{\sqrt {\frac {1-\alpha }{\overline {\varepsilon }}}}}{2D}}}}$

Başka bir deyişle, verilen varsayımlar, gezegenin sıcaklığının sadece Güneş’in yüzey sıcaklığına, Güneş ve gezegenin arasındaki uzaklığa, yansıtabilirliğe ve gezegenin kızılötesi yansıtımına bağlı olduğunu gösterir.

Kozmik mikrodalga arka plan ışıması sıcaklığı 2.7K olan ve şu ana kadar doğada gözlemlenmiş siyah cisim ışımasına en yakın olaydır.Bu olay ilk evrende ışımanın ekuplaj anının enstantanesi gibidir. Bu zamandan önce , evrendeki çoğu madde termal denge ile ışıyan iyonlaşmış plazma halindeydi.

Kondepudi Prigogine’e göre, çok yüksek sıcaklıklarda (1010K’in üstü; evrenin ilk zamanlarında bu sıcaklıklar vardı), termal hareket güçlü nükleer kuvvetler yerine proton ve nötron olarak ayrıldığında pozitif yüklü elektronlar görünüp kaybolmaya başlarlar ve elektromanyetik ışıma termal denge ile gerçekleşir.Bu parçacıklar siyah cisim spektrumunun elektromanyetik ışımasına ek olan formlarıdır. Hareketli siyah cisimdeki Doppler Etkisi Relativistik Doppler Etkisi  ışığın frekansında, f, değişikliğe neden olur, originating from a source that is moving in relation to the observer Relativistik Doppler etkisinde gözlemcinin gördüğü hareketle alakal kaynağın frekansında, f, değişiklik olur, gözlemlenen dalganın frekansı f':

${\displaystyle f'=f{\frac {1-{\frac {v}{c}}\cos \theta }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},}$

 v kaynağın gözlemciye göre hızı, θ hız vektörü ve kaynağa göre gözlemci-kaynak arasındaki ölçülen konum arasındaki açı, c ışık hızıdır.  Bu denklem gözlemciye göre (θ = π) ya da (θ = 0) olan özel durumlarda ışık hızından daha düşük bir hız alınarak basitleştirilebilir. Planck’ın kanununa göre siyah cismin spektrum sıcaklığı ışığın frekansına orantılı olarak bağlıdır ve denklemde sıcaklık (T) frekans yerine geçer.Direkt olarak gözlemciye doğru ya da gözlemciden uzaklaşarak hareket edilen durumlarda, denklem şuna indirgenir;

${\displaystyle T'=T{\sqrt {\frac {c-v}{c+v}}}.}$

Burada v > 0 kaynaktan uzak bir sonuçtur, ve v < 0 kaynağa yakın bir sonuçtur. Bu astronomide yıldızların ve galaksilerin hızının ışık hızının önemli miktarına ulaşabildiği önemli bir etkidir. Dipol anizotropi sergileyen kozmik mikrodalga arka plan ışımasında, siyah cisim ışıma alanına göre Dünyanın hareketi bulunan önemli bir örnektir.