Mükemmel sayı

Euclid ilk dört mükemmel sayı üstünde yaptığı araştırmalarda p ve 2^p−1 sayıları asal sayı olmak koşuluyla şöyle bir formül ile tanımlanabildiklerini keşfetmiştir: 2^p−1(2^p−1). Buna göre ilk dört mükemmel sayı şu şekilde hesaplanabilir:

p = 2:   2¹(2²−1) = 6

p = 3:   2²(2³−1) = 28

p = 5:   2⁴(2⁵−1) = 496

p = 7:   2⁶(2⁷−1) = 8128.

2^p−1(2^p−1) formülüne göre, ilk 40 çift mükemmel sayıyı hesaplamak için p değişkeninin değeri şunlardan biri olabilir:

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609.

Bu sayılar arasında başka mükemmel sayılar (çift veya tek) olup olunmadığı bilinmemektedir.

Tek mükemmel sayıların varlığı veya yokluğu tam olarak kanıtlanamamıştır. Ama hiç olmadıkları veya olabildiğince az oldukları düşünülmektedir.

• Bu sayılar ve 1 hariç diğer çarpanları 1/a şeklinde yazılarak toplanırsa sonuç 1 olur. 1/a + 1/b + 1/c =1 denkleminde a=2,b=3 ve c=6 olmalıdır. 1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/e =1 denkleminde de a=2,b=4,c=7,d=14 ve e=28 olmalıdır.