Kristal momentumu

Kristal yapının ve davranışın modellenmesinin genel yöntemi elektronlara değişmez sonsuz peryodik potensiyelden geçen kuantum mekaniksel parçacıklar olarak bakmaktır, öyle ki: ${\displaystyle V({\mathbf {x} }+{\mathbf {a} })=V({\mathbf {x} }),}$ burada ${\displaystyle \mathbf {a} }$ keyfi örgü yöneyidir. Böyle modelin makul olduğunun nedenleri: a) örgü yapısını oluşturan iyonların kütlesi elektron kütlesinden genellikle on binlerce kez daha büyüktür, bu da onların sabit potensiyelli yapıya değişmesini sağlar; b) kristalin makroskobik boyutlarının tipik olarak tek bir örgü aralığından çok daha büyük olduklarına göre kenar etkileri ihmal edilebilir. Bu potensiyel enerji fonksiyonun sonucu, elektronun başlangıç yerini, meselenin hiçbir yönünü değişdirmeden herhangi bir örgü yöneyi ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ile değiştirmek mümkündür; böylece ayrık simetri tanımlanır. (Daha teknik dilde değildikde, basıt kinetik-artı-potensiyel formu varsayılmakla, sonsuz peryodik potensiyel, örgü ötelenmesi operatörünün Hamiltonyen ile değiştirimli olması anlamına gelir)[2]^:134)

Bu koşullar, Bloch teoreminin anlamına gelir; o, denklemler terimleri ile aşağıdakını belirtir: ${\displaystyle \psi _{n}({\mathbf {x} })=e^{i{\mathbf {k} {\mathbf {\cdot x} }}}u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} }),\qquad u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} }+{\mathbf {a} })=u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} })}$, veya, kelimeler terimlerile, ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$ tek parçacık dalga fonksiyonu gibi modellenebilen örgü elektronu, kararlılık durumları çözümlerini peryodik fonksiyonla çarpılan ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$ düzlem dalga şeklinde bulur. Teorem, yukarıda dile getirilmiş, örgü simetrisi ötelenmesi operatörünün sistemin Hamiltonyeni ile değiştirimli olmasının doğru sonucudur.^:261–266[3]

Bloch teoreminin dikkata değer unsurlardan biri, onun kararlı hal çözümlerinin ${\displaystyle \mathbf {k} }$ dalğa yöneyi ile tanımlanabildildiklerini doğrudan göstermesidir; bu da bu kuantum sayısının hareket sabiti kaldığı anlamına gelir. Sonra kristal momentum geleneksel olarak bu dalga yöneyinin Planck sabiti ile çarpım gibi belirlenir:

${\displaystyle {\mathbf {p} }_{\text{crystal}}=\hbar {\mathbf {k} }.}$

Bu, adi momentuma verilebilecek tanımla aslında özdeş olmakla birlikte, mühüm kuramsal farklar var. Örneğin, momentum tamamile korunarken kristal momentum sadece örgü yöneyi boyunca korunur. Örneğin, elektron yalnız ${\displaystyle \mathbf {k} }$ dalga yöneyi ile değil, ${\displaystyle \mathbf {k'} }$ herhangi diğer dalga yöneyile tanımlanabiler, öyle ki

${\displaystyle \mathbf {k'} =\mathbf {k} +\mathbf {K} ,}$

burada ${\displaystyle \mathbf {K} }$ keyfi ters örgü yöneyidir.[2]^:218 Bu, örgü simetrisinin kesintisizden farklı olarak ayrık olduğu için onun ilişkin korunum yasası Noether teoremini kullanmakla elde edilebilmemezliğin sonucudur.

${\displaystyle \psi _{n}({\mathbf {x} })=e^{i{\mathbf {k} {\mathbf {\cdot x} }}}u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} })}$ Bloch durumunun evre kipilenimi, ${\displaystyle \hbar k}$ momentumu olan serbest parçacığdaki ile aynıdır, yani ${\displaystyle k}$, örgü peryodikliği ile aynı olmayan durum peryodikliğini verir. Bu kipilenim kinetik enerjiye katkı getirir (oysa kipilenim serbest parçacığın kinetik enerjinin tamamile sorumlusudur). Bant yaklaşık olarak parabolik olan bölgelerde, kristal momentum, serbest parçacığa parabolanın eğriliğile ilişkin olan etkin kütleni atarsak, serbest parçacığın ${\displaystyle \hbar k}$ momentumuna eşittir.

Hıza ilişkinliği

Grup hızı ile evre hızının farklı olduklarının nedini olan dağılıma sahip dalga treni. Bu görüntü 1-boyutlu real dalgadır, ama elektron dalga trenleri 3-boyutlu karmaşık dalgalardır.

Kristal momentum, aşağıdaki formüle göre, fiziksel olarak ölçülebilir hız kavramına karşılık gelir[2]^:141

${\displaystyle {\mathbf {v} }_{n}({\mathbf {k} })={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{\mathbf {k} }E_{n}({\mathbf {k} }).}$

Bu, dalganın grup hızı ile aynı formüldür. Özellikle, Heisenbergin belirsizlik ilkesine göre, kristaldaki elektronun kesin olarak tanımlanmış k ve kristalda kesin konumu aynı zamanda olabilmez. Oysa, o, k momentumu merkez (hafif belirsizlikle) olan ve belirli konumu merkez (hafif belirsizlikle) olan dalga trenini oluşturabiler. Dalga treninin merkez konumu dalga yayılırken değişir, kristal boyunca formülü yukarıda verilmiş v hızı ile hareket eder. Real kristalde, elektron bu şekilde - belirli bir doğrultuda belirli hız ile - yalnız kısa süre boyunca hareket eder, sonra ise kristaldeki kusuru ile çarpışıp başka, rastgele bir doğrultuda hareket eder. Elektron saçılması adlanan bu çarpışmaların sebebi genellikle kristallografik kusurlar, kristalın yüzeyi ve kristaldeki atomların rastgele ısıl titreşimleridir (fononlardır).[2]^:216