Koşullu beklenti

X ve Y ayrık rassal değişken olsunlar. Bu halde "Y=y olayı, Y sahasında ynin bir fonksiyonu olduğu verilmiş ise X değişkenin Y=y koşullu beklentisi şöyle tanımlanır:

${\displaystyle \operatorname {E} [X|Y=y]=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ \operatorname {P} [X=x|Y=y]=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ {\frac {\operatorname {P} [X=x,Y=y]}{\operatorname {P} [Y=y]}},}$

Burada ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ X değişkeninin istatistiksel açıklığını gosterir.

Bu sonucu Ynin bir sürekli rassal değişken olmasi haline de genişletmeye calışırsak bir sorun ile karşılaşırız. Bu halde P(Y=y) = 0 yani tek bir Y değeri için olasılık sıfır olur. Buna "Borel-Kolmogorov paradoksu" adi verilir, Bu yaklaşımla koşullu beklenti tanımlanmasına çalışmanın belirsizliği açıkça ortaya çıkar. Fakat yukarıda verilen ifadenin şöyle değiştirilmesi mümkündür:

${\displaystyle \operatorname {E} [X|Y=y]\operatorname {P} [Y=y]=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ \operatorname {P} [X=x,Y=y],}$

Her iki taraf da sıfır olup burada ynin tek değerleri önemsiz olmakla beraber, bu ifade Y sahasında bulunan her türlü ölçülebilir B altseti için geçerli olur; yani

${\displaystyle \int _{B}\operatorname {E} [X|Y=y]\operatorname {P} [Y=y]\ \operatorname {d} y=\int _{B}\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ \operatorname {P} [X=x,Y=y]\ \operatorname {d} y.}$

Gerçekten bu hal hem koşullu beklenti hem de koşullu olasılık kavramlarını tanımlamak için yeterli şart olur.

${\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )}$ bir gerçel rassal değişken X ve bir alt-sigma cebiri ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}}$ ile bir olasılık uzayı olsun. O zaman bir verilmiş ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}}$ için Xin koşullu beklentisi

${\displaystyle \int _{B}\operatorname {E} [X|{\mathcal {B}}](\omega )\ \operatorname {d} \operatorname {P} (\omega )=\int _{B}X(\omega )\ \operatorname {d} \operatorname {P} (\omega )\qquad {\text{for each}}\quad B\in {\mathcal {B}}}$

ifadesini tatmin eden herhangi bir ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}}$-ölçülebilir fonksiyon ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {E} [X|{\mathcal {B}}]:\Omega \to \mathbb {R} }$ olur.[1]

Burada dikkat edilirse, ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {E} [X|{\mathcal {B}}]}$ koşullu beklenti fonksiyonun basit bir notasyonla ifade edilmesidir.

Herhangi bir istaistiksel olay ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ için su gosterge fonksiyonu tanımlansın:

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )={\begin{cases}1\;&{\text{if }}\omega \in A,\\0\;&{\text{if }}\omega \notin A,\end{cases}}}$

Bu "Borel σ-cebiri"ne göre [0,1] içinde bir rassal degişkendir, Bu rassal değişkenin beklentisi Anin olasiligina esirt olur:

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {1} _{A}]=\operatorname {P} [A].\;}$

Bu halde, 'verilmis ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}}$ için kosullu olasilik, eger

${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {P} [A|{\mathcal {B}}]}$ ifadesinin A icin gosterge

fonksiyonunun kosullu beklentisi olmasi halinde

${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {P} [\cdot |{\mathcal {B}}]:{\mathcal {A}}\times \Omega \to \mathbb {R} }$

olur; yani

${\displaystyle \operatorname {P} [A|{\mathcal {B}}]=\operatorname {E} [\mathbf {1} _{A}|{\mathcal {B}}]\;}$

Diger bir sekilde ifadeyle, ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {P} [A|{\mathcal {B}}]}$

${\displaystyle \int _{B}\operatorname {P} [A|{\mathcal {B}}](\omega )\,\operatorname {d} \operatorname {P} (\omega )=\operatorname {P} [A\cap B]\qquad {\text{for all}}\quad A\in {\mathcal {A}},B\in {\mathcal {B}}.}$

ifadesini tatmin eden ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}}$-olculebilir fonksiyondur.

Eger ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {P} [\cdot |{\mathcal {B}}](\omega )}$ ifadesi her ω ∈ Ω için de bir olasilik olcusu ise, boyle bir kosullu olasilik duzgun olur. Bir duzgun kosullu olasiliga göre bir rassal değişkenin beklentisi onun kosullu beklentisine esittir.

Bu denklem su verilen gösterimin bir kumutatif gosterim olduğunu soylemek seklinde de yorumlanabilir:

            E(X|Y)= goY
  ────────────────────────────────> R 
        Y             g=E(X|Y= ·)
Ω ───────────>  R   ──────────────> R 
ω ───────────> Y(ω) ──────────────> g(Y(ω)) = E(X|Y=Y(ω))
                y   ──────────────> g(  y ) = E(X|Y=  y )

Denklemin anlamina göre X için entegraller ve Unun bir altsetinde olculebilir B için Y⁻¹(B) sekilideki setler için ${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y=\ \cdot )\circ Y}$ bilesigi birbirine ozdestirler.

N σ-alt-cebirlenin M σ-alt-cebiri ile koşullandırılması için diğer bir gorus sekli bulunmaktadır. Bu sekil önceden verilmiş olan incelemenin basitce ozellestirilmis seklidir. U basit olarak, uzerinde N σ-cebirli ve Y ozdeslik tasarimi olan Ω uzayi olduğu kabul edilir. sonuç soyle ifade edilir:

Teorem: X Ω uzerinde entegrali bulunan gercel rassal değişken ise, o halde P'ye oranla esdegerlilige uygunsa, tek bir ve tek su şarta uyan integre edilebilir g fonksiyonu bulunur; bu şarta göre altcebir N içinde bulunan herhangi bir B seti için

${\displaystyle \int _{B}X(\omega )\ d\operatorname {P} (\omega )=\int _{B}g(\omega )\ d\operatorname {P} (\omega )}$

olur. Burada g Nye göre olculebilir olur (ve bu X için gerekli olan M için olculebilir olma şartından daha siki bir şarttir.)

Bu sekilde kosullu beklenti genellikle E(X|N) olarak yazılır. Bu sekil olasilik kurami uzerinde spesialize olan matematikçiler tarafından tercih edilmektedir. Buna bir neden entegre edilebilir kare gercel rassal değişkenler uzayında (yani sonlu ikinci momenti bulunan gerçel rassal değişkenler için)

X → E(X|N)

eşlenmesi kendine-eklenmis ortogonal projeksiyon olur.

${\displaystyle L_{\operatorname {P} }^{2}(X;M)\rightarrow L_{\operatorname {P} }^{2}(X;N).}$

(Ω,M,P) bir olasılık uzayı olarak alınsın:

• Bir σ-altcebirine göre koşullandırılırsa, N entegre edilebilir gercel rassal değişkenler uzayında doğrusaldir.
• E(1|N) = 1
• Jensen'in esitsizligi gecerlidir: Eger f bir conveks fonksiyon ise, o halde

${\displaystyle f(\operatorname {E} (X\mid N))\leq \operatorname {E} (f\circ X\mid N).}$

• Bir daralan pojeksiyona göre koşullandılırsa herhangi bir s ≥ 1 için

${\displaystyle L_{P}^{s}(X;M)\rightarrow L_{P}^{s}(X;N)}$

olur.

• Toplam olasılık yasası
• Toplam beklenti yasası

• Ingilizce Wikipedi "Conditional expectation" maddesi (İngilizce) (Erişme:10.7.2010))
• William Feller, (1950), An Introduction to Probability Theory and its Applications Cilt.1,, Wiley. (İngilizce)
• Meyer, Paul A.,(1956) Probability and Potentials, Blaisdell Publishing Co. (İngilizce)
• Grimmett, Geoffrey ve D.R.Stirzaker (1995), Probability and Random Processes, Oxford:Oxford University Press ISBN 0-19-857222-0 (İngilizce)