Kesişen kirişler teoremi

Daha net olarak, bir ${\displaystyle S}$ noktasında kesişen iki kiriş ${\displaystyle AC}$ ve ${\displaystyle BD}$ için aşağıdaki denklem geçerlidir:

${\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}$

Bunun tersi de doğrudur, yani ${\displaystyle S}$'de kesişen iki doğru parçası ${\displaystyle AC}$ ve ${\displaystyle BD}$ için yukarıdaki denklem doğruysa, bu durumda dört uç nokta ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ ve ${\displaystyle D}$ ortak bir çember üzerinde yer alır. Ya da başka bir deyişle, ${\displaystyle ABCD}$ dörtgeninin köşegenleri ${\displaystyle S}$'de kesişir ve yukarıdaki denklemi sağlanırsa bu bir kirişler dörtgenidir.

Kiriş teoremindeki iki çarpımın değeri sadece kesişme noktası ${\displaystyle S}$'nin çember merkezinden uzaklığına bağlıdır ve ${\displaystyle S}$'nin kuvvetinin mutlak değeri olarak adlandırılır, daha net olarak aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:

${\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|=r^{2}-d^{2}}$

burada ${\displaystyle r}$, çemberin yarıçapı ve ${\displaystyle d}$, çemberin merkezi ile kesişme noktası ${\displaystyle S}$ arasındaki mesafedir. Bu özellik, doğrudan kiriş teoremini ${\displaystyle S}$ ve çemberin merkezi ${\displaystyle M}$'den geçen üçüncü bir kirişe uygulamaktan kaynaklanır (çizime bakın).

Teorem, benzer üçgenler kullanılarak (çevre açı teoremi aracılığıyla) kanıtlanabilir. ${\displaystyle \triangle ASD}$ ve ${\displaystyle \triangle BSC}$ üçgenlerinin açılarını düşünün:

${\displaystyle {\begin{aligned}\angle ADS&=\angle BCS\,\ ({\text{AB yayını gören çevre açılar}})\\\angle DAS&=\angle CBS\,\ ({\text{CD yayını gören çevre açılar}})\\\angle ASD&=\angle BSC\,\ ({\text{zıt açılar}})\end{aligned}}}$

Bu, ${\displaystyle \triangle ASD}$ ve ${\displaystyle \triangle BSC}$ üçgenlerinin benzer olduğu ve dolayısıyla,

${\displaystyle {\frac {AS}{SD}}={\frac {BS}{SC}}\Leftrightarrow |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}$

Teğet-kesen teoremi ve kesişen sekantlar teoreminin yanında, kesişen kiriş teoremi, iki kesişen doğru ve bir çember hakkında daha genel bir teoremin üç temel durumundan birini temsil eder - noktanın kuvveti teoremini.

• Glaister, Paul (Ocak 2007), "Intersecting Chords Theorem: 30 Years on", Mathematics in School, 36 (1), s. 22
• Shawyer, Bruce (2010), "Explorations in Geometry", World scientific, s. 14, ISBN 9789813100947
• Schupp, Hans (1977), Elementargeometrie (Almanca), Schöningh, Paderborn, s. 149, ISBN 3-506-99189-2
• Schülerduden - Mathematik I (Almanca) (8. bas.), Mannheim: Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2008, ss. 415-417, ISBN 978-3-411-04208-1

• Intersecting Chords Theorem @ cut-the-knot.org
• Intersecting Chords Theorem @ proofwiki.org
• Eric W. Weisstein, Chord (MathWorld)
• Geogebra'da iki etkileşimli animasyon: "Intersecting chord theorem" ve "Intersecting Chords Theorem"