Karmaşık eşlenik vektör uzayı

Eğer ${\displaystyle V\,}$ ve ${\displaystyle W\,}$ karmaşık vektör uzayı, bir fonksiyon ${\displaystyle f\colon V\to W\,}$ antilineerdir eğer

${\displaystyle f(v+v')=f(v)+f(v')\quad {\text{and}}\quad f(\alpha v)={\overline {\alpha }}\,f(v)}$

tüm ${\displaystyle v,v'\in V\,}$ için ve ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$.

vektör uzayı ${\displaystyle {\overline {V}}}$ oluşmasına tek neden bu doğrusal göndermeler içinde antilineer göndermeler yapılıyor. Özellikle, eğer ${\displaystyle f\colon V\to W\,}$ bir antilineer gönderme, ise karşılık gelen gönderme ${\displaystyle {\overline {V}}\to W}$ ile tanımlanıyor

${\displaystyle {\overline {v}}\mapsto f(v)}$

doğrusaldır. Tersine, herhangi doğrusal gönderme ${\displaystyle {\overline {V}}}$ üzerinde tanımlanıyor ${\displaystyle V\,}$ üzerinde bir antilineer göndermeye yükseltme veriliyor.

Tek yol bu karşılık hakkında düşüncenin bu ${\displaystyle C\colon V\to {\overline {V}}}$ gönderme tanımı ile

${\displaystyle C(v)={\overline {v}}}$

bir antilineer tanımlansın. Böylece eğer ${\displaystyle f\colon {\overline {V}}\to W}$ doğrusal, ise bileşim ${\displaystyle f\circ C\colon V\to W\,}$ antilineerdir, ve tersi.

Herhangi doğrusalharita ${\displaystyle f\colon V\to W\,}$ bir eşlenik doğrusal gönderme uyarıyor ${\displaystyle {\overline {f}}\colon {\overline {V}}\to {\overline {W}}}$,formülü ile tanımlanır

${\displaystyle {\overline {f}}({\overline {v}})={\overline {\,f(v)\,}}.}$

Eşlenik doğrusal gönderme ${\displaystyle {\overline {f}}}$ doğrusaldır.Dahası, ${\displaystyle V\,}$ üzerinde özdeş gönderme ${\displaystyle {\overline {V}}}$ özdeş göndermesini uyarır, ve

${\displaystyle {\overline {f}}\circ {\overline {g}}={\overline {\,f\circ g\,}}}$

herhangi iki doğrusal haritalar ${\displaystyle f\,}$ ve ${\displaystyle g\,}$ için.Bunun için, ${\displaystyle V\mapsto {\overline {V}}}$ kuralı ve ${\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}$ kendisine karmaşık vektör uzayının kategoriden bir funktör tanımlanır.

Eğer ${\displaystyle V\,}$ ve ${\displaystyle W\,}$ sonlu-boyutlu ve ${\displaystyle f\,}$ gönderme ${\displaystyle W\,}$'nin ${\displaystyle V\,}$ ve ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ sinin taban ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ sinin sırasıyla karmaşık matris ${\displaystyle A\,}$ sırasıyla tanımlanıyor,ise ${\displaystyle {\overline {f}}}$ göndermesi ${\displaystyle A\,}$'nın karmaşık eşlenik taban sırasıyla ${\displaystyle {\overline {V}}}$'nın ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}}$ ve ${\displaystyle {\overline {W}}}$nın ${\displaystyle {\overline {\mathcal {C}}}}$ tanımlanıyor.

vektör uzayı ${\displaystyle V\,}$ ve ${\displaystyle {\overline {V}}}$ var ve karmaşık sayılar ve bunun için karmaşık vektör uzayı üzerinde aynı boyut olarak izomorfiktir. Bununla birlikte,${\displaystyle V\,}$ dan ${\displaystyle {\overline {V}}}$ ya burada doğal izomorfizm yoktur. (${\displaystyle C\,}$ göndermesi bir izomorfizm değildir, dolayısıyla antilineerdir.)

çift eşlenik ${\displaystyle {\overline {\overline {V}}}}$ ,${\displaystyle V\,}$ya doğal izomorfiktir, ${\displaystyle {\overline {\overline {V}}}\to V}$ ile izomorfizm ile tanımlanır

${\displaystyle {\overline {\overline {v}}}\mapsto v.}$

Genellikle ${\displaystyle V\,}$'nın çift eşlenik basit ${\displaystyle V\,}$ özdeşi iledir.

• Doğrusal karmaşık yapı

• Budinich, P. and Trautman, A. The Spinorial Chessboard. Spinger-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3. (complex conjugate vector spaces are discussed in section 3.3, pag. 26).