Kök testi

Kök testi ilk defa Cauchy tarafından geliştirilmiştir ve bu yüzden bazen Cauchy kök testi veya Cauchy radikal testi olarak da anılır. Kök testi

${\displaystyle C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}$

sayısını kullanır. Burada "lim sup", ∞ da olabilen üst (superior) limittir.

Kök testi şunu ifade etmektedir.

• C < 1 ise, seri mutlak yakınsaktır,
• C > 1 ise, seri ıraksaktır.
• C = 1 ise, test sonuçsuzdur.

Bu test, c_n katsayılarının ve p merkezinin karmaşık sayı olduğu, z 'nin karmaşık değişken olduğu bir

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-p)^{n}}$

kuvvet serisiyle kullanılabilir.

O zaman serinin terimleri a_n = c_n(z - p)ⁿ ile verilir. O zaman kök testi a_n 'ye yukarıdaki gibi uygulanır. Bazen bu gibi bir seriye "p etrafındaki" kuvvet serisi adı verilir çünkü yakınsaklık yarıçapı R serinin iç bölgesindeki her z noktasında yakınsak olduğu en geniş p merkezli aralık veya diskin yarıçapıdır (aralığın veya diskin sınırı üzerindeki yakınsaklık ayrıca bakılmalıdır). Kök testinin böyle bir kuvvet serisine uygulanan bir sonucu ise yakınsaklık yarıçapının kesinlikle ${\displaystyle 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}$ olmasıdır. Burada, payda sıfır olurken yarıçapın +∞ olduğuna dikkat edilmelidir.

Σa_n serisinin yakınsaklığının kanıtı aslında karşılaştırma testinin bir uygulamasıdır. Her n ≥ N (n sabit bir doğal sayı) için ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}<k<1}$ ise, o zaman ${\displaystyle a_{n}<k^{n}<1}$ olur. ${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }k^{n}}$ geometrik serisi yakınsadığı için o zaman karşılaştırma testiyle ${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }a_{n}}$ de yakınsar. Pozitif olmayan a_n için yakınsaklık da ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}$ kullanılarak aynı yolla kanıtlanır.

Sonsuz tane n için ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1}$ ise, o zaman a_n 0'a yakınsamaz ve bu yüzden seri ıraksak olur.

Sonucun kanıtı: Σa_n = Σc_n(z - p)ⁿ kuvvet serisi için, serinin yakınsak olması için şunun olması gerektiğini görüyoruz:

Her n ≥ N için

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}<1,}$

ifadesine denk olarak

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\cdot |z-p|<1}$

ifadesini sağlayan bir N vardır. Bu da serinin yakınsaması için yeteri kadar büyük n 'ler için ${\displaystyle |z-p|<1/{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}$ olmasını gerektirmektedir. Bu da

${\displaystyle |z-p|<1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}$

demeye denktir. Böylece

${\displaystyle R\geq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}$ olur. Şimdi yakınsaklığın mümkün olduğu tek yer,

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}=1}$

olduğu zamandır (1'den büyük noktalarda ıraksaklık vardır) ve bu da yakınsaklık yarıçapını değiştirmeyecektir çünkü bunlar da aralığın veya diskin sınırının üzerinde yer alan noktalardır. Böylece

${\displaystyle R=1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}$

olur.

• Oran testi
• Yakınsak seriler

• Knopp, Konrad (1956), "3.2", Infinite Sequences and Series, Dover publications, Inc., New York, ISBN 0-486-60153-6
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963), "2.35", A Course in Modern Analysis (4 bas.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-58807-3KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi (link)

Bu makale PlanetMath'deki Cauchy kök testinin kanıtı maddesinden GFDL lisansıyla faydalanmaktadır.