Helmholtz denklemi

Helmholtz denklemi sıklıkla kismi diferansiyel denklemler (PDEs) uzay ve zamanın her ikisinde de fiziksel problemlerde karsimiza çikar. Helmholtz denklemi denen bu 'dalga denkleminin zaman-bagimsiz formunun gösterimi, sonuç olarak degiskenlerin ayrismasinin teknik uygulamasından analizin karmaşıkliginin indirgenmesi amaçlanir

Örnegin, dalga denklemi olarak

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.}$

elde edilir Dalga fonksiyonu u(r, t) degiskenlerinin ayrımı varsayımı ile çarpanlara ayrılır:

${\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )T(t).}$

dalga denkleminde bu form yerine konur , ve sadeleştirilirse, asagidaki denklem elde edilir:

${\displaystyle {\nabla ^{2}A \over A}={1 \over c^{2}T}{d^{2}T \over dt^{2}}.}$

Sol tarafı yalnızca r ye bagli zaman-bagimsiz denir , burada sag taraftaki baginti yalnızca t ye baglidir sonuç olarak, bu denklemin genel durum içinde denklemin her iki tarafı bir sabit degere esittir. Bu gözlemden, iki denklem elde edilebilir, biri A(r), digeri T(t):

${\displaystyle {\nabla ^{2}A \over A}=-k^{2}}$

ve

${\displaystyle {1 \over c^{2}T}{d^{2}T \over dt^{2}}=-k^{2}}$

Buradaki seçim, genelin disinda,−k² bagintisi için sabit degerdir. (Bu i herhangi sabit k ya esit deger sabitlerin ayrismasi olarak; −k² geleneksel seçimdir.)

ilk denkleme uyarlayarak, Helmholtz denklemini elde ederiz:

${\displaystyle \nabla ^{2}A+k^{2}A=(\nabla ^{2}+k^{2})A=0.}$

Yine, sonraki yerine konarak

${\displaystyle \omega {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}kc}$

ikinci denklem

${\displaystyle {\frac {d^{2}{T}}{d{t}^{2}}}+\omega ^{2}T=\left({d^{2} \over dt^{2}}+\omega ^{2}\right)T=0,}$

Burada k dalga vektörüdür ve ω açısal frekanstir.

Bizim simdi Helmholtz's denklemimiz var uzaysal degisken r ve zamanda bir ikinci-derece adi diferensiyel denklemdir.Zaman içinde sin ve cos fonksiyonlarının , ω ' nin açısal frekansi ile dogrusal bileşimi iken , uzaydaki çözüm formu sinir durum bagimli olacaktır. Alternatifleri, Laplace veya Fourier dönüşümü gibi integral dönüşümlerdir , Helmholtz denkleminin bir formu içinde hiperbolik PDE bir dönüşümü sıklıkla kullanılıyor .

Bi dalga denklemlerinin iliskililigi nedeniyle, the Helmholtz denklemi fizik alanlarinin dalga problemlerinin elektromanyetik radyasyon, sismoloji ve akustik alanlarinda kullanilir.

${\displaystyle \nabla ^{2}u(x)+k^{2}(x)u(x)=-f(y),\quad x\in \mathbb {R} ^{n}}$

Bu durumda denklem fiziksel acidan u(.) alaninin f(.) kaynak dagilimi tarafından yaratildigi biciminde yorumlanir.

Helmholtz denklemi zamanla harmonik degisim gosteren elektromagnetik veya akustik dalgalarla uyarılmış ortamlardaki alan dagılımını modellemek için kullanılır.

• Laplace denklemi Helmholtz denkleminin özel bir durumudur

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene, (Edl.) (1964). Handbook of Mathematical functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-61272-4.

• Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (2002). "Chapter 19". Mathematical methods for physics and engineering. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-89067-5.

• Riley, K. F. (2002). "Chapter 16". Mathematical Methods for Scientists and Engineers. Sausalito, California: University Science Books. ISBN 1-891389-24-6.

• Saleh, Bahaa E. A.; Teich, Malvin Carl (1991). "Chapter 3". Fundamentals of Photonics. Wiley Series in Pure and Applied Optics. New York: John Wiley & Sons. ss. 80-107. ISBN 0-471-83965-5.

• Sommerfeld, Arnold (1949). "Chapter 16". Partial Differential Equations in Physics. New York: Academic Press. ISBN 0126546568.

• Howe, M. S. (1998). Acoustics of fluid-structure interactions. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-63320-6.

• Helmholtz Equation25 Mayıs 2005 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Helmholtz equation", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
• Vibrating Circular Membrane3 Haziran 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. by Sam Blake, The Wolfram Demonstrations Project.
• Green's functions for the wave, Helmholtz and Poisson equations in a two-dimensional boundless domain4 Mart 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.