Grandi serisi

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … toplamını hesaplamanın en basit yolu onu bir iç içe seri olarak algılamak ve çıkarma işlemlerini doğrudan gerçekleştirmektir.

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0

Öte yandan, terimler farklı bir yolla öbeklendirildiğinde toplam, yukarıda elde edilen sonuçla çelişmektedir.

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1

Grandi serisini ayraçlar yardımıyla öbeklere ayırma yoluyla ulaşılabilen "değerler" 0 ve 1'dir. Eilenberg–Mazur hilesi olarak adlandırılan benzer bir yöntem düğüm kuramı ve cebirinde zaman zaman kullanılmaktadır.

Grandi serisi bir ıraksak geometrik seri olarak ele alındığında ise yakınsak geometrik serilere uygulanan yöntemler bu seriye uyarlanarak farklı bir değer bulunabilmektedir.

S = 1 − 1 + 1 − 1 + … ve

1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 - 1 + 1 - 1 + … = S

S = ¹⁄₂

Aynı sonuca −S hesaplanıp sonuç S'den çıkarıldıktan sonra 2S = 1 çözümüyle de ulaşılabilmektedir.[1]

Seri üzerinde yapılan bu oynamalar bir serinin toplamının tam olarak ne ifade ettiği konusuna odaklanmamaktadır. Serileri isteğe göre öbeklere ayırmak ve bunlar üzerinde dört işlem uygulaması yapmak her ne kadar önemliyse de şu iki sonuca ulaşmak olasıdır:

• 1 − 1 + 1 − 1 + … serisinin bir toplamı yoktur.[1][2]
• ...ancak toplam ¹⁄₂ olmalıdır.[2]

Her iki ifade doğrulanabilir ve kanıtlanabilir ancak bunu gerçekleştirmek için 19. yüzyılda bulunan matematiksel kavramlara gerek duyulmaktadır. Kalkülüsün Avrupa'ya gelişinden 18. yüzyılın sonuna dek geçen süre matematikçiler arasında bu konuda yaşanan "bitmeyen" ve "sert" tartışmalara tanıklık etmiştir.[3][4]

Çağdaş matematikte bir sonsuz serinin toplamı onun kısmi toplamları serisinin limiti olarak tanımlanmaktadır. Grandi serisinin kısmi toplamlar kümesi hiçbir sayıya yaklaşmayan 1, 0, 1, 0, … serisidir (0 ve 1 noktalarındaki birikim sayılmazsa). Bu, Grandi serisinin ıraksak olduğunu göstermektedir.

Seri üzerinde yapılan küçük oynamalar (terimlerin yerlerinin değiştirilmesi gibi) seri mutlak yakınsak olmadıkça geçerli işlemler değillerdir çünkü bu tür oynamalar toplam değerini değiştirmektedir. Grandi serisine uygulanan bu tür yöntemlerin yalnızca 0 ve 1 değil, farklı toplam değerlerine yol açtığı bilinmektedir.

• 1 + 1 + 1 + 1 + · · ·
• Guido Grandi

• E. W. Hobson, The theory of functions of a real variable and the theory of Fourier's series (Cambridge University Press, 1907), 331. The University of Michigan Historical Mathematics Collection
• E. T. Whittaker, G. N. Watson, A course of modern analysis, 4. baskı, (Cambridge University Press, 1962), 2.1