Gauss-Legendre Algoritması

İki sayının aritmetik-geometrik ortalaması, a₀ ve b₀, aşağıdaki dizilerin limitleri alınarak bulunur

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\\b_{n+1}&={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\end{aligned}}}$

Bu iki denklem de aynı limit değerine yakınsar. Eğer ${\displaystyle a_{0}=1\!}$ ve ${\displaystyle b_{0}=\cos \varphi \!}$ ise limit ${\displaystyle {\pi \over 2K(\sin \varphi )}\!}$ değerine yakınsar; öyle ki ${\displaystyle K(k)\!}$ birinci tür tam olmayan eliptik integraldir.

${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.\!}$

Eğer ${\displaystyle c_{0}=\sin \varphi \!}$, ${\displaystyle c_{i+1}=a_{i}-a_{i+1}\!}$ ise

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }2^{i-1}c_{i}^{2}=1-{E(\sin \varphi ) \over K(\sin \varphi )}\!}$

öyle ki ${\displaystyle E(k)\!}$ ikinci tür tam olmayan integraldir.

${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta .\!}$

Gauss tüm bu sonuçları biliyordu.[1] [2] [3]

Öyle bir ${\displaystyle \varphi \!}$ ve ${\displaystyle \theta \!}$ sayıları vardır ki ${\displaystyle \varphi +\theta ={1 \over 2}\pi \!}$ eşitliğini sağlar. Legendre bu ödeşliği kanıtlamıştır:

${\displaystyle K(\sin \varphi )E(\sin \theta )+K(\sin \theta )E(\sin \varphi )-K(\sin \varphi )K(\sin \theta )={1 \over 2}\pi \!}$