Elektromanyetik sınır koşulları

Elektrik alan için sınır koşulu,

${\displaystyle \mathbf {n} _{21}\times (\mathbf {E} _{1}-\mathbf {E} _{2})=\mathbf {0} }$

şeklinde tanımlanabilir. ${\displaystyle \mathbf {n} _{21}}$ 2. ortamdan 1. ortama giden normal vektördür. Bu koşul elektrik alanın teğet bileşeninin yüzey boyunca sürekli olduğunu ifade eder:[2]

${\displaystyle \mathbf {E} _{1t}=\mathbf {E} _{2t}}$

${\displaystyle \mathbf {D} }$ alanı için sınır koşulları Gauss yasası ile türetilebilir.[1]

Elektrik akı yoğunluğu lineer ortamlarda yalıtkanlık sabiti ile ${\displaystyle \mathbf {D} _{1}=\varepsilon _{1}\mathbf {E} _{1}}$ ve ${\displaystyle \mathbf {D} _{2}=\varepsilon _{2}\mathbf {E} _{2}}$ şeklinde ifade edilebilir. Elektrik akı yoğunluğu için sınır koşulu,

${\displaystyle (\mathbf {D} _{1}-\mathbf {D} _{2})\cdot \mathbf {n} _{21}=\sigma _{s}}$

Şeklinde ifade edilir. Burada ${\displaystyle \mathbf {n} _{21}}$ 2. ortamdan 1. ortama giden normal vektör ve ${\displaystyle \sigma _{s}}$ ise serbest yüzey yük yoğunluğudur. Bu koşul elektrik akı yoğunluğunun sınırda süreksiz olduğu ifade eder; bu süreksizlik yüzey yük yoğumluğuna eşittir. Yüzeyde serbest yük olmaması durumunda ${\displaystyle \sigma _{s}}$ o olarak alınır ve normal akı yoğunlukları birbirine eşitlenebilir. Bu özel durumda elektrik akı yoğunluğu ve yalıtkanlık sabiti arasındaki ilişkiden faydalanılarak normal elektrik alan bileşenleri ile ilgili aşağıdaki ifade yazılabilir:[2]

${\displaystyle \varepsilon _{1}\mathbf {E} _{1n}=\varepsilon _{2}\mathbf {E} _{2n}}$

Manyetik alan için sınır koşulu,

${\displaystyle \mathbf {n} _{21}\times (\mathbf {H} _{1}-\mathbf {H} _{2})=\mathbf {J} _{s}}$

şeklinde gösterilir. Bu denklemde ${\displaystyle \mathbf {n} _{21}}$ 2. ortamdan 1. ortama giden normal vektörü, ${\displaystyle \mathbf {J} _{s}}$ ise serbest yüzey akım yoğunluğunu belirtir. Her iki ortamın iletkenliğinin sonlu olması durumunda serbest yüzey akımı tanımlanmaz. Mükemmel iletken veya süperiletken olmayan neredeyse tüm fiziksel ortamlar için ${\displaystyle \mathbf {J} _{s}}$ sıfıra eşittir ve bunun sonucunda ${\displaystyle \mathbf {H} }$'ın teğet birleşeninin sürekli olduğu kabul edilebilir:[3]

${\displaystyle \mathbf {H} _{1t}=\mathbf {H} _{2t}}$

Yüksek frekanslarda yüzey katmanı etkisi nedeniyle iletkenlerde akım yüzeye yakın dar bir katmanda ilerler. Yüksek frekans devrelerinde bu akım yüzey akım yoğunluğu olarak modellenebilir.[1]

${\displaystyle \mathbf {B} }$ alanı için sınır koşullarının türetilmesi

Manyetik akı yoğumluğu için sınır koşulu,

${\displaystyle (\mathbf {B} _{1}-\mathbf {B} _{2})\cdot \mathbf {n} _{21}=0}$

şeklinde verilebilir. Bu denklemde ${\displaystyle \mathbf {n} _{21}}$, 2. ortamdan 1. ortama giden normal vektörü gösterir. Bu koşul, ${\displaystyle \mathbf {B} }$ akımının yüzey boyunca sürekli olduğunu gösterir. Buna karşın, manyetik alan ile manyetik akı yoğunluğu arasındaki ilişki lineer ortamlar için ${\displaystyle \mathbf {B} _{1}=\mu _{1}\mathbf {H} _{1}}$ ve ${\displaystyle \mathbf {B} _{2}=\mu _{2}\mathbf {H} _{2}}$ ile tanımlanabilir. Bundan yola çıkarak, manyetik alanın normal bileşenleri arasındaki ilişki,

${\displaystyle \mu _{1}\mathbf {H} _{1n}=\mu _{2}\mathbf {H} _{2n}}$

ile gösterilebilir.[3]