Doğrusal olmayan rezonans

Genel olarak iki tip rezonans ayırt edilmelidir- doğrusal ve doğrusal olmayan. Fiziksel bir açıdan bu formlar dış kuvvetin, sistemin kendi frekansına denk gelip gelmediği ile tanımlanır(sırası ile doğrusal ve doğrusal olmayan rezonans için). Doğrusal olmayan rezonansta frekans durumu şöyledir;

${\displaystyle \omega _{n}=\omega _{1}+\omega _{2}+\cdots +\omega _{n-1},}$

Muhtemel değişik ${\displaystyle \omega _{i}=\omega (\mathbf {k} _{i}),}$ ile, ki bunlar doğrusal olmayan bir kısmi diferansiyel denklemin lineer kısmının kendi frekanslarıdır. Burada ${\displaystyle \mathbf {k} _{i}}$ Fourier harmonik-veya kendi modları- tam sayı indeksleri i olan bir vektördür. Buna bağlı olarak, frekansın rezonans durumu Diophantine denkleminin birçok bilinmeyenli haline denktir. Çözümlerini bulma problemi ise algoritmik olarak çözülemeyeceği kanıtlanmış Hilbert’in onuncu problemine denktir.

Doğrusal olmayan rezonans teorisinin temel fikri[1]:

1. Birçok fiziksel uygulamada ortaya çıkan dağılım fonksiyonlarının özel formunun${\displaystyle \omega =\omega (\mathbf {k} ),}$ kullanımı frekans rezonans durumunda çözümleri bulmaya yardım eder. 2. Verilen dağılım fonksiyonunun rezonans kümesi ve rezonans durumlarının formu kesişmeyen rezonans bölüklerine ayrılır; her bölüğün dinamiği bağımsız olarak incelenir(uygun zaman ölçüsünde) 3. Her rezonans bölüğü kendi NR-diyagramı ile temsil edilir. Bu gösterim bölüğün zamana bağlı davranışını tanımlayan dinamik sistemi, ve en basit bölükler için hareketin Manley-Rowe sabitlerinin genellemesi olan polinom korunum yasaları kümesini yeniden yapılandırmayı sağlar. 4. Belli tipteki bölükleri tanımlayan dinamik sistemler analitik olarak çözülebilir. 5. Bu teorik sonuçlar direkt olarak gerçek hayattaki fiziksel olguları (örneğin, Dünya yüzeyindeki mevsimsel salınımlar) veya dalga türbülansı teorisindeki birçok dalga türbülansı sistemini tanımlamak için kullanılabilir.

Doğrusal olmayan etkiler harmonik osilatörlerin rezonans eğrilerini önemli ölçüde değiştirebilir. Öncelikle, rezonans frekansı ${\displaystyle \omega }$ kendi doğal değerinden ${\displaystyle \omega _{0}}$ aşağıdaki formüle göre kayar:

${\displaystyle \omega =\omega _{0}+\kappa A^{2},}$

burada ${\displaystyle A}$ salınımın genliği ve ${\displaystyle \kappa }$ harmonik olmayan katsayılarla tanımlanan bir sabittir. İkinci olarak, rezonans eğrisinin şekli bozulur (foldover etkisi). Dış kuvvetin(sinüsoidal) ${\displaystyle F}$ genliği kritik bir değere ulaştığında ${\displaystyle F_{\mathrm {crit} }}$ kararsızlıklar ortaya çıkar. Bu kritik değer aşağıdaki formülle verilmiştir:

${\displaystyle F_{\mathrm {crit} }={\frac {4m^{2}\omega _{0}^{2}\gamma ^{3}}{3{\sqrt {3}}\kappa }},}$

Burada ${\displaystyle m}$ osilatörün kütlesi, ${\displaystyle \gamma }$ zayıflatma(amortisman) katsayısıdır. Bununla birlikte, ${\displaystyle \omega _{0}}$ ya yakın frekanstaki salınımların, ${\displaystyle \omega _{0}.}$dan farklı frekansa sahip bir dış kuvvet tarafından uyarılması ile yeni rezonanslar ortaya çıkar.

• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1976), Mechanics (3rd bas.), Pergamon Press, ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and 0-08-029141-4 (softcover) |isbn= değerini kontrol edin: invalid character (yardım)

• Elmer, Franz-Josef (20 Temmuz 1998), Nonlinear Resonance], University of Basel, 13 Haziran 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 27 Ekim 2010