Düzlem dalga açılımı

Fizikte,düzlem dalga açılımı küresel dalgaların bir toplamı olarak bir düzlem dalgayı ifade eder,

${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=e^{ikr\cos \theta }=\sum _{l=0}^{\infty }i^{l}(2l+1)j_{l}(kr)P_{l}(\cos \theta ),}$

Burada ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$.dalga vektör ${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})}$ ${\displaystyle k=|\mathbf {k} |}$ uzunluğu var ve ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$ vektörü ${\displaystyle r=|\mathbf {r} |}$ uzunluğu vardı. ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ve ${\displaystyle \mathbf {r} }$ vektörler arası açı ${\displaystyle \theta }$dir. ${\displaystyle j_{l}}$ fonksiyonu Küresel Bessel fonksiyonları ve ${\displaystyle P_{l}}$ Legendre polinomudur.

Küresel harmonik toplama teoremi denklemi ile

${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=4\pi \sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}i^{l}j_{l}(kr)Y_{lm}(\theta _{r},\phi _{r})Y_{lm}^{\ast }(\theta _{k},\phi _{k}),}$

olarak yazılabilir. burada ${\displaystyle (r,\theta _{r},\phi _{r})}$ ve ${\displaystyle (k,\theta _{k},\phi _{k})}$

sırasıyla ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ve ${\displaystyle \mathbf {k} }$ vektörlerin Küresel koordinatlarıdır

ve ${\displaystyle Y_{lm}}$ fonksiyonları Küresel harmoniklerdir.