Borel toplamı

${\displaystyle y=\sum _{k=0}^{\infty }y_{k}z^{-k}}$

z'de bir resmi üs dizisi olsun ve ${\displaystyle y}$'nin Borel dönüşümü ${\displaystyle {\mathcal {B}}y}$ aşağıdaki biçimde tanımlansın.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y_{k+1}}{k!}}t^{k}}$

1. ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}y}$'nin sıfırdan farklı bir yakınsaklık yarıçapı olduğu,
2. ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}y}$'nin ${\displaystyle \scriptstyle {\widehat {y}}(t)}$ gibi bir işleve tüm pozitif gerçel sayılar için sürdürülebildiği,
3. ${\displaystyle \scriptstyle {\widehat {y}}(t)}$'nin gerçel sayılar kümesinde en çok üssel hızla büyüdüğü

varsayılsın.

Bu durumda y'nin Borel toplamı, ${\displaystyle \scriptstyle {\widehat {y}}(t)}$'nin Laplace dönüşümüne eşit olur. Bu işlevin var oluşu 3. koşul tarafından güvence altına alınmaktadır.

Nicholas M. Katz, Émile Borel'in gençliğinden bir anı anlatıyor:

Borel toplamı, fizikçilerin bir dizinin toplamını bulmaya çalıştıkları düzensizlik kuramı çalışmalarında sıkça kullanılmaktadır.

Borel toplamının dizilerden (süreksiz) integrallere (sürekli) dönüşümü şu yolla yapılmaktadır:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }s^{-x}f(x)\,dx\rightarrow s\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)t^{x}}{\Gamma (x+1)}}\exp(-st)\,dt\,dx={\frac {F(\ln(s))}{\ln(s)}}}$

Burada F(s), f(x)'in Laplace dönüşümünü belirtmektedir. Bu ifade

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{i\omega x}\,dx}$

türündeki Fourier integrallerine sonlu bir anlam kazandırmaktadır.