Bohr-Mollerup teoremi

${\displaystyle \,\Gamma (z)\,}$ karşılayan tek fonksiyon ${\displaystyle \,f(z+1)=zf(z)\,}$ ile ${\displaystyle \,\log(f(z))\,}$ ve ayrıca ${\displaystyle \,f(1)=1\,}$.için konvekstir.

${\displaystyle \,\Gamma (x)\,}$ yardımıyla,yukarda kabul edilen özelliklere bağlı olarak kurulan fonksiyon

${\displaystyle \,\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,}$ ve${\displaystyle \,\log \left(\Gamma (x)\right)\,}$ konvekstir ve

${\displaystyle \,\Gamma (1)=1\,}$

Aslında ${\displaystyle \,\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,}$ gerçeğinden şunu kurabiliriz.

${\displaystyle \,{\begin{aligned}\Gamma (x+n)=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\ldots (x+1)x\Gamma (x)\end{aligned}}\,}$

ve bu sonuçtan hareketle

${\displaystyle \,\Gamma (1)=1\,}$ ifadesi ${\displaystyle \,\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,}$ doğal sonucudur bu özellikle tam sayılara uygulanarak aşağıdaki sonuca varabiliriz.

${\displaystyle \,\Gamma (n)=(n-1)!\,}$ ise ${\displaystyle \,n\in \mathbb {N} \,}$

ve eğer ${\displaystyle \,\Gamma (x)\,}$ yoksa... yani bizim bağıntımız

${\displaystyle \,0<x\leq 1\,}$ olmak üzere

${\displaystyle \,\Gamma (x+n)\,}$

${\displaystyle \,\Gamma (x)\,}$ tüm ${\displaystyle \,x\,}$ değerleri için aşağıdaki ${\displaystyle \,(x_{1},\;f(x_{1}))\,}$ ve ${\displaystyle \,(x_{2},\;f(x_{2}))\,}$ iki noktayı birleştiren doğrunun eğiminin hesabı ${\displaystyle \,x_{1}<x_{2}\,}$ olmak üzere ${\displaystyle \,{\mathcal {M}}(x_{1},x_{2})\,}$ monoton olarak arttığı için konveks fonksiyon ile onun doğal öngörüsüden dolayı ${\displaystyle \,\log \left(\Gamma (x)\right)\,}$ konveks olduğunu biliyoruz

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {M}}(n-1,n)&\leq {\mathcal {M}}(n,n+x)\leq {\mathcal {M}}(n,n+1)\;\;\mathrm {when} \;0<x\leq 1\\{\frac {\log \left(\Gamma (n-1)\right)-\log \left(\Gamma (n)\right)}{(n-1)-n}}&\leq {\frac {\log \left(\Gamma (n)\right)-\log \left(\Gamma (n+x)\right)}{n-(n+x)}}\leq {\frac {\log \left(\Gamma (n)\right)-\log \left(\Gamma (n+1)\right)}{n-(n+1)}}\\{\frac {\log \left((n-2)!\right)-\log \left((n-1)!\right)}{-1}}&\leq {\frac {\log \left(\Gamma (n+x)\right)-\log \left((n-1)!\right)}{x}}\leq {\frac {\log \left(n!\right)-\log \left((n-1)!\right)}{1}}\\-\log \left({\frac {(n-2)!}{(n-1)!}}\right)&\leq {\frac {\log \left(\Gamma (n+x)\right)-\log \left((n-1)!\right)}{x}}\leq \log \left({\frac {n!}{(n-1)!}}\right)\\-\log \left({\frac {1}{(n-1)}}\right)&\leq {\frac {\log \left(\Gamma (n+x)\right)-\log \left((n-1)!\right)}{x}}\leq \log \left(n\right)\\x\cdot \log \left(n-1\right)+\log \left((n-1)!\right)&\leq \log \left(\Gamma (n+x)\right)\leq x\cdot \log \left(n\right)+\log \left((n-1)!\right)\\\log \left((n-1)^{x}(n-1)!\right)&\leq \log \left(\Gamma (n+x)\right)\leq \log \left(n^{x}(n-1)!\right)\end{aligned}}}$

Böyle bir limit varlığı veya yakınsama gibi çeşitli şeyleri kanıtlamak için ortak bir analiz tekniğidir. Şimdi biz bu fonksiyonu geri çağırıyoruz ve her ikisi monoton artandır . Bu, iki ifade arasında sıkışmış olan fonksiyon son satırından bellidir ${\displaystyle \,\log()\,}$ ve ${\displaystyle \,e^{()}\,}$ . biz bu özelliği eşitsizlikte kullanırsak devamla:

${\displaystyle \,{\begin{aligned}(n-1)^{x}(n-1)!&\leq \Gamma (n+x)\leq n^{x}(n-1)!\\(n-1)^{x}(n-1)!&\leq (x+n-1)(x+n-2)\ldots (x+1)x\Gamma (x)\leq n^{x}(n-1)!\\{\frac {(n-1)^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\ldots (x+1)x}}\leq \Gamma (x)&\leq {\frac {n^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\ldots (x+1)x}}\\{\frac {(n-1)^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\ldots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\\\end{aligned}}\,}$

Son satırı güçlü bir ifadedir. Özelde, bütün ${\displaystyle \,n\,}$ değerler için de geçerlidir. ${\displaystyle \,\Gamma (x)\,}$ nın herhangi bir ${\displaystyle \,n\,}$ değeri seçimi için sağ tarafta daha küçük ve aynı şekilde, ${\displaystyle \,\Gamma (x)\,}$ nın herhangi bir ${\displaystyle \,n\,}$ diğer tercihi için sol tarafta daha büyük olmasıdır. Her bir eşitsizlik yalnız bir durum ve bağımsız bir ifade olarak yorumlanabilir bir durumdur. bu nedenle RHS ve LHS'yi farklı -n-değerleri için seçmekte özgürüz. Özellikle, LHS için ${\displaystyle \,n+1\,}$ RHS için${\displaystyle \,n\,}$ seçiminde tutarsak.

${\displaystyle \,{\begin{aligned}{\frac {((n+1)-1)^{x}((n+1)-1)!}{(x+(n+1)-1)(x+(n+1)-2)\ldots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\\{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\\{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\\\Gamma (x)\left({\frac {n}{n+x}}\right)&\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}\end{aligned}}\,}$

Bu son iki ifadeyi birleştirirsek

${\displaystyle \,{\begin{aligned}\Gamma (x)\left({\frac {n}{n+x}}\right)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}\leq \Gamma (x)\end{aligned}}\,}$

şimdi ${\displaystyle \,n\rightarrow \infty \,}$olarak alınırsa. ${\displaystyle \,{\frac {n}{n+x}}\rightarrow 1\,}$ sağ yan eşitliğe giderken sol yan eşitsizliğe gider. ${\displaystyle \,{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}\,}$ devamlı sıkıştırılırsa, ${\displaystyle \,\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}\,}$ ifadesinin tek anlamı olabilir,eşitlik ${\displaystyle \,\Gamma (x)\,}$'ya gider. Bu ispat bağlamında${\displaystyle \,\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}\,}$ ${\displaystyle \,\Gamma (x)\,}$'ya ait belirtilen üç özellik idi. Ayrıca kanıt${\displaystyle \,\Gamma (x)\,}$ için belirli bir ifade sağlar Ve ispatın son kritik bölümünde bir dizinin limiti benzersiz olduğu hatırdan çıkarılmamalıdır Bu demektir ki herhangi bir ${\displaystyle \,x\in (0,1]\,}$ seçim için , sadece bir sayı ${\displaystyle \,\Gamma (x)\,}$ bulunabilir Burada ${\displaystyle \,\Gamma (x)\,}$ fonksiyonun tüm özelliklerine sahip başka bir fonksiyon yoktur.

ispat sorusunun teorem varsayımı kalan diğer ucudur ${\displaystyle \,\Gamma (x)\,}$ herkes için mantıklı${\displaystyle \,x\,}$ burada ${\displaystyle \,\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}\,}$ bulunmaktadır. Problem bizim ilk çift eşitsizliğimizdedir.

${\displaystyle \,{\begin{aligned}{\mathcal {M}}(n-1,n)\leq {\mathcal {M}}(n+x,n)\leq {\mathcal {M}}(n+1,n)\end{aligned}}\,}$

${\displaystyle \,0<x\leq 1\,}$ için kısıtlama konmuştur. öğleyse, monoton artan yapmak isteniyor, ${\displaystyle \,x>1\,}$ daha sonra eğer ${\displaystyle \,{\mathcal {M}}\,}$ söyleniyorsa${\displaystyle \,{\mathcal {M}}(n+1,n)<{\mathcal {M}}(n+x,n)\,}$,olması isteniyorsa oluşturulan tüm kanıt eşitsizliğin çelişmesi üzerinedir ama

${\displaystyle \,{\begin{aligned}\Gamma (x+1)&=\lim _{n\rightarrow \infty }x\cdot \left({\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\ldots (x+1)x}}\right){\frac {n}{n+x+1}}\\\Gamma (x)&=\left({\frac {1}{x}}\right)\Gamma (x+1)\end{aligned}}\,}$

dikkat edilmelidir.

ilk olarak gösterilen ${\displaystyle \,x\,}$'ın bütün değerleri için ${\displaystyle \,\Gamma (x)\,}$'ın buradaki limit tanımlıdır.