Bergman uzayı

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Bergman uzayı karmaşık düzlemin bir D bölgesinde tanımlı, D 'nin sınırında mutlak türevlenebilen holomorf fonksiyonlardan oluşan bir fonksiyon uzayıdır. Bu uzay ismini, Stefan Bergman isimli matematikçiden almıştır. Daha düzgün bir dille, Bergman uzayı olan ${\displaystyle L_{\alpha }^{p}(D)}$, D üzerinde tanımlı ve p-normu sonlu olan holomorf fonksiyonlardan oluşmaktadır. Yani, eğer ${\displaystyle f\in L_{\alpha }^{p}(D)}$ ise o zaman aşağıda verilen norm koşulu sağlanmalıdır:

${\displaystyle \|f\|_{p,\alpha }=\left(\int _{D}|f(x+iy)|^{p}\,dx\,dy\right)^{1/p}<\infty .}$

${\displaystyle L_{\alpha }^{p}(D)}$ gösterimindeki ${\displaystyle \alpha }$ harfi fonksiyonun analitik (holomorf fonksiyonların analitikliği maddesine bakınız) olduğunu simgelemek için eklenmiştir ve bu gösterim Bergman uzayının tek gösterimi değildir. Kullanımının zorluk çıkarmayacağı düşünülerek ${\displaystyle A^{p}(D)}$ de kullanılmaktadır. Bergman uzayları Banach uzayıdır. Bu sonuç, D 'nin tıkız bir K altkümesi üzerindeki şu kestirimin bir sonucu olarak elde edilebilir:

${\displaystyle \sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{p}(D)}.}$

Bu yüzden, L^p(D) 'deki bir holomorf fonksiyonlar dizisinin yakınsaklığı ayrıca bu dizinin tıkız yakınsak olduğunu verir. Böylece, limit fonksiyonu da holomorftur.

p = 2 ise, o zaman ${\displaystyle L_{\alpha }^{p}(D)}$ bir doğuran çekirdekli Hilbert uzayıdır ve çekirdeği de Bergman çekirdeği tarafından belirlenir.