Abc sanısı

n pozitif tam sayısı için nin radikali rad(n) ile gösterilir ve n'in asal sayı bölenlerinin çarpımını ifade eder. Örneğin:

• rad(16) = rad(2⁴) = 2,
• rad(17) = 17,
• rad(18) = rad(2·3²) = 2·3 = 6.

a, b ve c aralarında asal pozitif tam sayılarsa ve a + b = c ise, (a, b, c) tam sayı üçlüsünün kalitesi q(a, b, c) ile gösterilir ve aşağıdaki formülle tanımlanır:

${\displaystyle q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log(\operatorname {rad} (abc))}}}$.

Örneğin:

• q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...
• q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...

a + b = c'yi sağlayan tipik bir (a, b, c) aralarınd asal tam sayı üçlüsünün kalitesi q(a, b, c) < 0 olacaktır. Birinci örnekteki gibi q > 1 olan üçlüler aslında özellerdir ve küçük asal sayıların büyük üssel katlarını içerirler.

abc sanısı, herhangi bir ε > 0 için, a + b = c 'i sağlayan sonlu sayıda (a, b, c) aralarında asal pozitif tam sayı üçlüsü bulunacağını belirtir; öyle ki, q(a, b, c) > 1 + ε.

a + b = c yi sağlyan, q(a, b, c) > 1 olan sonsuz sayıda (a, b, c) aralarında asl tam sayı üçlülerinin bulundukları bilindiği halde; sanı, bunların sadece sonlu sayıdaki bir kısmının q > 1.01 ya da q > 1.001 ya da q > 1.0001, vs. olduğunu tahmin eder.

Benzer bir formülleştirme; herhangi bir ε > 0 için, bir K vardır ki,

${\displaystyle c<K\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }}$

eşitsizliği sağlanır.

abc sanısı henüz kanıtlanmış değil; ama bir takım ilginç sonuçları var. Bunların arasında zaten bilinen sonuçlar olduğu gibi, koşullu kanıt verdiği sanılar da bulunmakta.

• Thue–Siegel–Roth teoremi ( Klaus Roth tarafından kanıtlandı)
• Fermat'in Son Teoremi büyük bileşenler için (Andrew Wiles tarafından kanıtlandı)
• Mordell sanısı (Gerd Faltings tarafından kanıtlandı)
• Erdős–Woods sanısı sonlu sayıda arşıt örenk hariç
• sonsuz sayıda Wieferich asalının varlığı
• Hall'ın sanısının zeyıf formu
• Dirichlet L-fonksiyonu L(s,(-d/.)) Legendre sembolü ile kurulur, Siegel sıfırı yoktur.
• P(x)'in x tam sayısı için sadece sonlu sayıda tam üssü vardır, öyle ki P en az üç basit sıfırlı bir polinomdur.[1]
• Tijdeman'ın teoreminin genelleştirilmesi
• Granville-Langevin sanısına eştir
• modifiye edilmiş Szpiro sanısına eştir.
• Dąbrowski (1996) abc sanısının ${\displaystyle n!+A=k^{2}\,}$ı kanıtladığını gösterdi, öyle ki herhangi bir A tam sayısı için sonlu sayıda çözümü vardır.[2]