Welch'in t-testi

Student'ın t-testi, iki popülasyonun normal dağılımlara ve eşit varyansa sahip olduğunu varsayar. Welch'in t- testi, eşit olmayan varyanslar için tasarlanmıştır, ancak normalite varsayımı korunmaktadır.[1] Welch'in t-testi, Behrens-Fisher problemi için yaklaşık bir çözümdür.

Aspin ve Welch gibi bazı yazarlar, Welch istatistiklerinde serbestlik derecelerini (df) elde etmek için yöntemler sundular. Keselman ve ark., formüllerin hiçbiri kesinlikle doğru df sağlamaz ve bu nedenle yaklaşık df (ADF) olarak adlandırılırlar. Yaygın olarak kullanılan formül Welch tarafından önerilmiştir. Bu varyans tahmini ile ilişkili serbestlik dereceleri, Welch-Satterthwaite denklemi kullanılarak örnek verilerden yaklaşıklandırılır.[3]

Welch'in t- testi istatistiği t'ni aşağıdaki formüle göre tanımlar:

${\displaystyle t\quad =\quad {\;{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}\; \over {\sqrt {\;{s_{1}^{2} \over N_{1}}\;+\;{s_{2}^{2} \over N_{2}}\quad }}}\,}$

${\displaystyle {\overline {X}}_{1}}$, ${\displaystyle s_{1}^{2}}$ and ${\displaystyle N_{1}}$ sırasıyla birinci örnek ortalaması, örnek varyansı ve örnek büyüklüğüdür.Student'ın t-testinden farklı olarak, payda birleştirilmiş varyans tahmine dayalı değildir. Bu varyans tahminiyle ilişkili serbestlik dereceleri ${\displaystyle \nu }$, Welch-Satterthwaite denklemi kullanılarak yaklaştırılır:

${\displaystyle \nu \quad \approx \quad {{\left(\;{s_{1}^{2} \over N_{1}}\;+\;{s_{2}^{2} \over N_{2}}\;\right)^{2}} \over {\quad {s_{1}^{4} \over N_{1}^{2}\nu _{1}}\;+\;{s_{2}^{4} \over N_{2}^{2}\nu _{2}}\quad }}}$

Burada ${\displaystyle \nu _{1}=N_{1}-1}$, ilk varyans tahmini ile ilişkili serbestlik derecelerini, ${\displaystyle \nu _{2}=N_{2}-1}$,ikinci varyans tahminiyle ilişkili serbestlik derecelerini ifade etmektedir.

Welch'in t- testi de sıralanan veriler için hesaplanabilir ve daha sonra Welch'in U- testi olarak adlandırılabilir.[4]

T ve ${\displaystyle \nu }$ hesaplandıktan sonra bu istatistikler, iki popülasyon ortalamasının eşit olduğu (iki uçlu test kullanılarak) boş hipotezi test etmek için t-dağılımı ile veya popülasyon ortalamalarının birinin Diğerinden büyük veya eşit (tek kuyruklu test kullanarak)olduğu alternatif hipotezler için kullanılabilir.

Welch'in t-testi Student'ın t-testinden daha sağlamdır ve eşitsiz varyansların ve eşit olmayan örneklem boyutlarının nominaline yakın tip I hata oranlarını korur.Ayrıca, popülasyon farklılıkları eşit olduğunda ve numune boyutları dengelense bile, Welch'in t-testinin gücü Student'ın t-testinin gücüne yakındır.[2] Welch'in t-testi, tek yönlü varyans analizinden daha sağlam olan 2'den fazla numuneye genellenebilir.[5]

Eşit farklılıkları ön teste tabi tutmak ve daha sonra Student's t-testi veya Welch'in t-testi arasında seçim yapmak tavsiye edilmez. Daha ziyade, Welch'in t-testi, yukarıda belirtildiği gibi doğrudan ve Student'ın t-testine herhangi bir önemli dezavantaj olmadan uygulanabilir. Yer belirleme testinden önce kullanılan eşitliğin eşitliği için yapılan ön testler istatistikçiler tarafından artık yaygın olarak önerilmez; ancak bazı ek kitaplar ve yazılım paketlerinde de geçerlidir. Simülasyonlar, iki aşamalı prosedürün, önem seviyesini korumakta başarısız olduğunu ve genellikle durumun daha da kötüsü ön testlerin sıklıkla testin boyutunu olumsuz etkilediğini ve varyansların eşit olmadığı durumlarda Welch t-testinin Student t-testinden üstün olduğunu göstermiştir. Mevcut simülasyonlar, örneklem boyutları daha küçük olduğunda, varyanslar arasındaki farkın aşırı olmadığından daha hafif olduğu ve anlamlılık seviyesinin daha katı olduğu zaman hata oranlarındaki değişimlerin daha fazla olduğunu ortaya koymaktadır. Dahası, Welch t-testinin geçerliliği, yalnızca bir ön testin gerekli olduğunu belirttiği durumlarda kullanıldığında bozulur. Numune boyutları eşitsiz olduğunda koşulsuz olarak ayrı bir varyans testi kullanılarak optimum koruma sağlanır.[6] Welch'in t-testi çarpık dağılımlar ve büyük örnek boyutları için daha güvenilirdir.[7] Sıralanan dağılımlar ve daha küçük örnekler için güvenilirlik azalır ve burada Welch'in sıralanmış veriler üzerinde t testi yapılabilir.[4]

Aşağıdaki üç örnek Welch'in t-testi ve Student'ın t-testini karşılaştırmaktadır. Örnekler, R programlama dili kullanılarak rastgele normal dağılımlardan alınmıştır.

Üç örnek için de nüfus ortalamaları ${\displaystyle \mu _{1}=20}$ and ${\displaystyle \mu _{2}=22}$ dir.

İlk örnek eşit varyans (${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=4}$) ve eşit örnek büyüklükleri (${\displaystyle N_{1}=N_{2}=15}$) içindir. iki rassal numuneyi A1 ve A2 olarak belirtelim:

${\displaystyle A_{1}=\{27.5,21.0,19.0,23.6,17.0,17.9,16.9,20.1,21.9,22.6,23.1,19.6,19.0,21.7,21.4\}}$

${\displaystyle A_{2}=\{27.1,22.0,20.8,23.4,23.4,23.5,25.8,22.0,24.8,20.2,21.9,22.1,22.9,20.5,24.4\}}$

İkinci örnek eşit olmayan varyanslar(${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=16}$, ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}=1}$) ve eşit olmayan örnek büyüklükleri içindir (${\displaystyle N_{1}=10}$, ${\displaystyle N_{2}=20}$). Küçük örnek daha büyük varyansa sahiptir:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=\{17.2,20.9,22.6,18.1,21.7,21.4,23.5,24.2,14.7,21.8\}\\A_{2}&=\{21.5,22.8,21.0,23.0,21.6,23.6,22.5,20.7,23.4,21.8,20.7,21.7,21.5,22.5,23.6,21.5,22.5,23.5,21.5,21.8\}\end{aligned}}}$

Üçüncü örnek eşit olmayan varyanslar (${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=1}$, ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}=16}$) ve eşit olmayan örnek boyutları içindir (${\displaystyle N_{1}=10}$, ${\displaystyle N_{2}=20}$). Büyük örneklemin daha büyük varyansı vardır:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=\{19.8,20.4,19.6,17.8,18.5,18.9,18.3,18.9,19.5,22.0\}\\A_{2}&=\{28.2,26.6,20.1,23.3,25.2,22.1,17.7,27.6,20.6,13.7,23.2,17.5,20.6,18.0,23.9,21.6,24.3,20.4,24.0,13.2\}\end{aligned}}}$

Referans p-değerleri, eşit popülasyon araçlarının boş hipotez için (${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}=0}$) t istatistiklerinin dağılımlarını simüle ederek elde edildi. Sonuçlar, aşağıdaki tabloda çift-kuyruklu p-değerleri ile özetlenmiştir:

	Sample A1			Sample A2			Student's t-test				Welch's t-test
Example	${\displaystyle N_{1}}$	${\displaystyle {\overline {X}}_{1}}$	${\displaystyle s_{1}^{2}}$	${\displaystyle N_{2}}$	${\displaystyle {\overline {X}}_{2}}$	${\displaystyle s_{2}^{2}}$	${\displaystyle t}$	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle P}$	${\displaystyle P_{\mathrm {sim} }}$	${\displaystyle t}$	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle P}$	${\displaystyle P_{\mathrm {sim} }}$
1	15	20.8	7.9	15	23.0	3.8	−2.46	28	0.021	0.021	−2.46	25.0	0.021	0.017
2	10	20.6	9.0	20	22.1	0.9	−2.10	28	0.045	0.150	−1.57	9.9	0.149	0.144
3	10	19.4	1.4	20	21.6	17.1	−1.64	28	0.110	0.036	−2.22	24.5	0.036	0.042

Welch'in t - testi ve Student'ın t - testi, eşit varyans ve eşit örnek büyüklüğüne sahip iki örnek için pratik olarak aynı sonuçları verdi (Örnek 1). Eşit olmayan varyanslar için, Student'in t- testi, küçük örneklemin daha büyük bir varyansa (Örnek 2) ve daha büyük bir örneğin daha büyük bir varyansa sahip olduğu (örnek 3) yüksek bir p-değeri verdi. Eşit olmayan varyanslar için, Welch'in t- testi, simüle edilen p-değerlerine yakın p-değerleri verdi.

• Student'in t testi