Touchard polinomları

Touchard polinomları, Jacques Touchard tarafından 1939'da çalışıldı, ayrıca [1] içinde adlandırılır [2],[3] binomial tipin bir polinom dizisi içeren

${\displaystyle T_{0}(x)=1,\qquad T_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}S(n,k)x^{k}=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}x^{k},\quad n>0,}$

ile tanımlanıyor.

burada ${\displaystyle S(n,k)}$ bir ikinci türün Stirling sayısıdır, yani, bu ${\displaystyle k}$ içinde ${\displaystyle n}$ boyutlu bir kümenin kısımlarının sayısı parçalanmış boş-küme altkümeleridir. (yukarıdaki ikinci gösterim, {parantez} ile, Donald Knuth tarafından tanıtıldı.) ${\displaystyle n}$inci Touchard polinomlarının 1'de değeri ${\displaystyle n}$inci Bell sayısıdır, yani ${\displaystyle n}$ boyutun bir kümesinin parçalarının sayısı:

${\displaystyle T_{n}(1)=B_{n}.}$

Eğer ${\displaystyle X}$ bir rastgele değişken yani bir Poisson dağılımı ile ${\displaystyle \lambda }$ değeri bekleniyor, ise onun ${\displaystyle n}$inci momenti ${\displaystyle E(X^{n})=T_{n}(\lambda )}$dır, baş tanım:

${\displaystyle T_{n}(x)=e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}k^{n}}{k!}}.}$

Kullanılan bu tek durum bu hızlı polinom dizisi sağlayabilen binomal tipindir, yani, bunun özdeşinin yeterli dizisidir:

${\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(\lambda )T_{n-k}(\mu ).}$

Polinomları her polinomunun 1. derecelik terimin katsayısının 1 olduğu binom türü tek polinom dizisi oluşturur. Touchard polinomlarını her polinomun 1. derecelik terimin katsayısının 1 olduğu binomal tipin tek polinom dizisini oluşturuyor.

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x).}$

Touchard polinomları için Rodrigues-benzeri formül uygundur:

${\displaystyle T_{n}\left(e^{x}\right)=e^{-e^{x}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{e^{x}}\right)}$

Touchard polinomları için yineleme ilişkisi uygundur

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+{\frac {d}{dx}}\right)T_{n}(x).}$

Ve

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x).}$

${\displaystyle x=1}$ durumunda, bu Bell sayıları için yineleme formülüne indirgenir.

Kullanılan Şemsiye gösterimi ${\displaystyle T^{n}(x)=T_{n}(x)}$, burada olan formüller:

${\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\left(T(\lambda )+T(\mu )\right)^{n}.}$

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+T(x)\right)^{n}.}$

Touchard polinomlarının üreteç fonksiyonu

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{T_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{x\left(e^{t}-1\right)}.}$

Bu ikinci türün Stirling sayıları#üretim fonksiyonunun üreteç fonksiyonuna karşı gelir ve [1] burada üstel Polinomlar için kaynaktır. Ve bir kontur integral gösterimi

${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{x({e^{t}}-1)}}{t^{n+1}}}\,dt}$

Touchard polinomları (ve burada Bell sayıları ile), yukardaki integralin gerçel kısmı kullanılıyor, tam sayı olmayan derecesine genelleştirilebilir:

${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x{\bigl (}e^{\cos(\theta )}\cos(\sin(\theta ))-1{\bigr )}}\cos {\bigl (}xe^{\cos(\theta )}\sin(\sin(\theta ))-n\theta )\,\mathrm {d} \theta }$