Terim testi

Matematikte terim testi, ıraksaklık testi veya ıraksaklık için n'inci terim testi[1] bir sonsuz serinin ıraksaklığını belirlemenin basit bir yöntemidir:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$ ise veya limit yok ise, o zaman $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ ıraksar.

Çoğu yazar bu teste isim vermez veya verirlerse de kısa bir isim verir.[2]

Kullanımı

Daha güçlü yakınsaklık testlerinin aksine, terim testi kendi başına bir serinin yakınsak seri olduğunu ifade etmez. Bilhassa, testin tersi doğru değildir. Bunun yerine

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ ise, o zaman $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ yakınsayabilir de yakınsamayabilir de.

denilebilir. Harmonik seri, terimleri 0'a giden ancak ıraksak olan bir serinin klasik bir örneğidir.[3] Harmonik serilerin daha genel bir sınıfı olan p-serileri, yani

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},

testin muhtemel sonuçlarını ortaya çıkaran güzel bir örnektir:

p ≤ 0 ise, o zaman terim testi serinin ıraksak olduğunu söyler.
0 < p ≤ 1 ise, o zaman terim testi sonuçsuzdur; ancak seri integral testi ile ıraksaktır.
1 < p ise, o zaman terim testi sonuçsuzdur; ancak seri yine integral testi ile yakınsaktır.

Kanıtlar

Test genelde devrik biçimde kanıtlanır:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ yakınsarsa, o zaman $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ olur.

Limit manipülasyonu

s_n serini kısmi toplamları ise, o zaman serinin yakınsaması varsayımı, belli bir s için

\lim _{n\to \infty }s_{n}=s

anlamına gelir. O zaman[4]

\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(s_{n}-s_{n-1})=s-s=0

olur.

Cauchy ölçütü

Serinin yakınsadığı varsayımı Cauchy yakınsaklık testini sağladığı anlamına gelmektedir: Her $\varepsilon >0$ için bir N sayısı vardır öyle ki

|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_{n+p}|<\varepsilon

ifadesi n > N ve p ≥ 1 için tutar. p = 1 koymak ise tanımın ifadesini[5], yani

\lim _{n\to \infty }a_{n}=0

ifadesini kurtarır.

Kapsam

Terim testinin en basit çeşidi gerçel sayıların sonsuz serilerine uygulanır. Üstteki iki kanıt, Cauchy ölçütünü veya limitin doğrusallığını kullanarak, diğer herhangi bir normlu vektör uzayında da geçerlidir.[6]

Notlar

Kaczor sf.336
Mesela, Rudin (sf.60) sadece devrik biçimden bahseder ve isimlendirmez. Brabenec (sf.156) n'inci terim testi olarak adlandırır. Stewart (sf.709) Iraksaklık testi demektedir.
Rudin sf.60
Brabenec sf.156; Stewart sf.709
Rudin (sf.59-60) Cauchy ölçütünün başka bir ifadesini kullanarak bu kanıt fikrini kullanır.
Hansen sf.55; Şuhubi sf.375

Kaynakça

Brabenec, Robert (2005), Resources for the study of real analysis, MAA, ISBN 0-88385-737-5
Hansen, Vagn Lundsgaard (2006), Functional Analysis: Entering Hilbert Space, World Scientific, ISBN 981-256-563-9
Kaczor, Wiesława and Maria Nowak (2003), Problems in Mathematical Analysis, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2050-8
Rudin, Walter (1976) [1953], Principles of mathematical analysis (3 bas.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-054235-X
Stewart, James (1999), Calculus: Early transcendentals (4 bas.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-36298-2
Şuhubi, Erdoğan S. (2003), Functional Analysis, Springer, ISBN 1-4020-1616-6

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[Kaczor-1] Kaczor sf.336

[Rudin-2] Mesela, Rudin (sf.60) sadece devrik biçimden bahseder ve isimlendirmez. Brabenec (sf.156) n'inci terim testi olarak adlandırır. Stewart (sf.709) Iraksaklık testi demektedir.

[3] Rudin sf.60

[4] Brabenec sf.156; Stewart sf.709

[5] Rudin (sf.59-60) Cauchy ölçütünün başka bir ifadesini kullanarak bu kanıt fikrini kullanır.

[6] Hansen sf.55; Şuhubi sf.375