Poisson-Boltzmann denklemi

Poisson-Boltzmann denklemi elektrolitler içindeki moleküller arasındaki elektrostatik etkileşimleri açıklayan diferansiyel denklemlere denir. Bu denklem aynı zamanda Gouy-Chapman çift tabaka (arayüzlü)'nın matematiksel temelidir; ilk olarak Gouy tarafından tasarlanmış daha sonra Chapman tarafından 1913te tamamlanmıştır. Bu denklem moleküler dinamikte ve biofizikte önemlidir, zira bu denklem, çözücünün yapılar üzerindeki etkilerine ve farklı iyonik güçlere sahip çözeltilerdeki proteinlerin, DNAnın, RNAnın ve diğer moleküllerin etkileşimlerine yaklaşım yapılmasında ve de zımni çözünmeyi modellemede kullanılmaktadır. Genellikle Poisson-Boltmann denklemini kompleks sistelerde çözmek zordur, fakat birçok bilgisayar programı onu numerik olarak çözmek için geliştirilmiştir.

Bu denklem cgsde şu şekilde yazılır :

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot \left[\epsilon ({\vec {r}}){\vec {\nabla }}\Psi ({\vec {r}})\right]=-4\pi \rho ^{f}({\vec {r}})-4\pi \sum _{i}c_{i}^{\infty }z_{i}q\lambda ({\vec {r}})\cdot \exp \left[{\frac {-z_{i}q\Psi ({\vec {r}})}{k_{B}T}}\right]}$

veya mksde :

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot \left[\epsilon ({\vec {r}}){\vec {\nabla }}\Psi ({\vec {r}})\right]=-\rho ^{f}({\vec {r}})-\sum _{i}c_{i}^{\infty }z_{i}q\lambda ({\vec {r}})\cdot \exp \left[{\frac {-z_{i}q\Psi ({\vec {r}})}{k_{B}T}}\right]}$

burada ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot }$ diverjansa , ${\displaystyle \epsilon ({\vec {r}})}$ konuma bağlı dielektriğe, ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\Psi ({\vec {r}})}$ elektrostatik potansiyelin gradyanına, ${\displaystyle \rho ^{f}({\vec {r}})}$ çözünenin yük yoğunluğuna, ${\displaystyle c_{i}^{\infty }}$ çözeltiden sonsuz uzaklıktaki iyon i yoğunluğuna, ${\displaystyle z_{i}}$ iyonun yüküne, q protonun yüküne, ${\displaystyle k_{B}}$ Boltzmann sabitine T sıcaklığa, ve ${\displaystyle \lambda ({\vec {r}})}$ çözeltide r konumunun iyonlara konuma bağlı erişilebilirliğini belirleyen bir faktöre tekamül etmektedir. Eğerki potansiyel kT'ye kıyasla büyük değilse, denklemin daha verimli çözülebilmesi için doğrusallaştırılabilir, ki bu da Debye-Hückel denklemini ortaya çıkarır.[1][2][3]