Kepler'in gezegensel hareket yasaları

Şekil 2: Kütleleri biribinden çok az farklı olan iki cismin bir merkez etrafında dönmesi. Şekildeki sistem kütle ve boyut olarak Plüton-Charon sistemine benzerdir.

Bu yasalar birbiri etrafında dönen herhangi iki cismin hareketini açıklar.[1] Bu cisimlerin kütleleri, yaklaşık olarak birbirine eşit (örn. Charon ve Plüton (~1:10)), birbirinden az miktarda farklı (örn. Ay ve Dünya (~1:100)) veya birbirinden çok farklı (örn. Merkür ve Güneş (~1:10,000,000)) olabilir.

Tüm durumlarda her iki cisim de ortak bir kütle merkezi noktası etrafında dolanır ve hiçbirinin de kendi kütle merkezi elipsin odaklarından birinde bulunmaz. Buna rağmen her iki yörünge de, odaklarından biri sistemin kütle merkezinde olacak şekilde bir elips şeklindedir. Kütleler birbirinden çok farklı olduğunda (örn. Güneş etrafında dolanan gezegenler), kütle merkezi daha kütleli cismin kendi kütle merkezinin çok yakınında hatta gövdesi içinde bulunur. Dolayısıyla, sistemin kütle merkezi, kütlesi büyük olan cismin içinde kalır. Bu durumda sistemin kütle merkezini büyük kütleli cismin kütle merkezinden ayırt edebilmek için çok hassas ölçümler yapmak gerekir. Bu nedenle birinci yasa Güneş etrafında dolanan gezegenlerin hareketini doğrulukla açıklar.

Aşağıda bu üç yasa özetlenecektir.

Şekil 3: Kepler'in birinci yasası, Güneşi eliptik yörüngenin merkezlerinden birine koyar

"Her gezegen, Güneşin merkezlerinden birinde bulunduğu bir elips üzerinde hareket eder."

Zamanında bu çok çarpıcı bir iddia idi; önceki inanışa göre yörüngeler mükemmel çemberler üzerinde bulunmalıydı. Bu gözlem evrenin Kopernikçi görüşünü desteklemekteydi. Bu durum, yasanın modern bağlamda ilişkisini yitirdiği anlamına gelmez. Teknik olarak elips çemberden farklı olmasına rağmen, küçük dışmerkezliliğe sahip bir yörüngede dolanan bir gezegenin yörüngesi kabaca bir çember olarak düşünülebilir. Bu nedenle gezegenlerin yörüngeleri kabaca gözlenerek, yörüngelerin gerçekten de eliptik olduğunu görebilmek kolay değildir. Buna rağmen Kepler'in hesaplamaları yörüngelerin eliptik olduğunu göstermiş, Güneş'e çok daha uzak göksel cisimlerin yörüngelerinin de büyük dışmerkezliliğe sahip eliptik yörüngeler olacağını öngörmüştür (bu iki yanından çekilip uzatılmış bir çembere benzer). Kepler'den sonra birçok göksel cisim astronomlar tarafından kuyruklu yıldız veya asteroid olarak adlandırıldı. Cüce gezegen Plüton 1930'ların sonlarına doğru keşfedildi. Keşfin bu denli gecikmesinin nedeni, Plüton'un boyutlarının diğer gezegenlere kıyasla çok daha küçük olması, ve dışmerkezliliğinin çok büyük olmasıdır.

Şekil 4: Gezegen Güneş'in yakınında daha hızlı hareket eder, böylece uzakta bulunup yavaş hareket ettiği durumlarda taradığı alan ile aynı miktarda alan taranmış olur.

"Bir gezegeni Güneşe bağlayan çizgi eşit zaman aralıklarında eşit alanlar tarar."

Sembolik olarak:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}\right)=0}$

Burada ${\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}}$ ifadesi "alansal hız"'ı (birim zamanda taranan alan) ifade eder. Matematiksel olarak bu ifadenin zamana göre türevinin sıfır olması, gezegen tarafından birim zamanda taranan alanın sabit olduğu anlamına gelmektedir.

Bu yasa eşit alanlar yasası olarak da bilinir. Bu yasayı anlayabilmek için, gezegenin bir A noktasından B noktasına bir günde gittiğini varsayalım. Güneş'ten A ve B noktalarına çizilen çizgiler ve gezegenin A noktasından B noktasına hareket ederken izlediği eğrinin içinde kalan bölge bir alan (kabaca bir üçgen) tanımlar. İkinci yasa der ki gezegen, yörüngesinin hangi konumunda olursa olsun, gezegenin bir günlük hareketi boyunca bu aynı alan kaplanacaktır. Birinci yasa bir gezegenin yörüngesinin eliptik olduğunu söylediğine göre, gezegen, yörüngenin farklı konumlarında Güneş'e farklı uzaklıklarda bulunacaktır. Bu durum, gezegenin Güneşe yakın olduğu durumda, uzak olduğu durumdaki ile aynı alanı taraması için daha hızlı gitmesi gerektiği sonucunun çıkmasını gerektirir.

Kepler'in ikinci yasası, birinci yasasının üzerine eklenen bir gerçeği daha ifade etmektedir. İkinci yasa, birinci yasaya göre eliptik yörüngede dolanan gezegene etkiyen net teğet kuvvetin sıfır olması gerektiğini söylemektedir. 'Alansal hız' adı verilen nicelik açısal momentum ile çok yakından ilişkilidir ve bu sebepten ötürü Kepler'in ikinci yasası açısal momentumun korunumunun da bir ifadesidir.

Güneşten uzak gezegenler, daha yakın olanlara kıyasla daha uzun yörünge periyotlarına sahiptir. Kepler'in üçüncü yasası bu gerçeği niceliksel olarak açıklar.

"Bir gezegenin yörüngesel periyodunun karesi, dolandığı elipsin ana eksen uzunluğunun kübü ile doğru orantılıdır."

Sembolik olarak:

${\displaystyle {P^{2}}\propto {a^{3}}}$

${\displaystyle P}$ gezegenin yörüngesel periyodu ve ${\displaystyle a}$ yörüngenin ana eksenidir.

Orantı sabiti Güneş çevresinde dolanan tüm gezegenler için aynıdır.

${\displaystyle {\frac {P_{gezegen}^{2}}{a_{gezegen}^{3}}}={\frac {P_{dunya}^{2}}{a_{dunya}^{3}}}=\mathbf {C} .}$

C sabitinin değeri en son ölçümlere göre MKS sisteminde şu şekilde bulunmuştur:

${\displaystyle \mathbf {C} =2.97473\cdot 10^{-19}\cdot sn^{2}\cdot m^{-3}}$

Örneğin, bir A gezegeninin Güneşe olan uzaklığının B gezegeninin Güneşe olan uzaklığından dört kat daha büyük olduğunu düşünelim. Bu durumda A gezegeni B her turda, B gezegeninden 4 kat daha fazla yol katedecektir ve dahası A gezegeni B gezegeninin yarısı kadar bir hızla hareket edecektir. Yasaya göre, toplamda A gezegeninin yörüngeyi tamamıyla dolanması için geçen süre, B gezegeninin yörüngeyi dolanması için geçen süreden 4×2=8 kat daha büyük olacaktır (8²=4³).