Del işlemcisi

Del işlemcisi tam türevden tanımlanır:

${\displaystyle dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial z}}dz=\left({\hat {e}}_{x}{\frac {\partial F}{\partial x}}+{\hat {e}}_{y}{\frac {\partial F}{\partial y}}+{\hat {e}}_{z}{\frac {\partial F}{\partial z}}\right)\cdot (e_{x}dx+e_{y}dy+e_{z}dz)={\vec {\nabla }}F\cdot d{\vec {r}}}$

O halde, işlemci

${\displaystyle {\vec {\nabla }}={\hat {e}}_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {e}}_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {e}}_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}}$

olarak tanımlanmış olur. Burada ${\displaystyle {\partial }/{\partial x_{i}}}$ işlemcisi kısmi türev, ${\displaystyle {\hat {e}}_{i}}$'ler de birim yöneydir. i=(1,2,3) n boyutlu Öklit uzayında bu gösterim:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}=\sum _{i=1}^{n}{\hat {e}}_{i}{\partial \over \partial x_{i}}}$

olarak genellenebilir. Buradaki ${\displaystyle e_{i}}$ 'ler birim yöneylerdir ve i=1,2,...,n alınır.

Ayrıca Einstein toplam uzlaşımı gereği nabla işlemcisi tensör olarak:

${\displaystyle \nabla _{i}={\hat {e}}_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}.}$

şeklinde de gösterilebilir. Tensör gösteriminde F 'ye etkiyen del işlemcisi virgülle de gösterilebilir:

${\displaystyle \nabla _{i}F={\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}=\partial _{i}F=F_{,i}}$

Burada i=1,2,3 alınır.

• Del işlemcisinin matematikteki çeşitli kullanım alanları: Gradyan, Diverjans, Rotasyonel, Laplasyen.
• Elektromanyetizmada Maxwell Denklemleri del işlemcisiyle ifade edilir. ${\displaystyle \rho _{s}\,}$ ve ${\displaystyle {\vec {J}}_{s}}$ sırasıyla serbest yüklerin yoğunluğu ve akısı olmak üzere,

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {D}}=\rho _{s}}$

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}=0}$

${\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$

${\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\vec {J}}_{s}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}$

• Fizikte korunumlu kuvvetler için potensiyel ifadesi yazılır, bu yüzden korunumlu bir F kuvveti için:

${\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla \Phi }$

ifadesi geçerlidir ki burada ${\displaystyle \Phi }$ göndermesi, eğer F elektriksel kuvvetse elektrik alan, eğer F manyetik kuvvetse manyetik alan ya da eğer F kütleçekim kuvveti ise kütleçekim alanıdır.

• Dalga denkleminde

${\displaystyle \nabla ^{2}F-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial ^{2}t}}=0}$

• d'Alembert İşlemcisi

${\displaystyle \square ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}}$

Genelde 3 boyutlu Öklityen uzay ile 4 boyutlu Minkowski uzayı arasındaki fark bu maddede de uygulandığı gibi, 3-yöneyler Latin harfleriyle (i,j,k,...) gösterilirken 4-yöneylerin yunan harfleriyle (${\displaystyle \alpha ,\beta ,\dots ,\mu ,\nu ,\dots }$ ) gösterilmesi adet olmuştur.

Del işlemcisi genel olarak her yöne ait kısmi türevdir. Einstein'ın Özel Görelilik kuramında 4-del işlemcisi şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle \partial _{\mu }=({\frac {\partial }{\partial ct}},{\vec {\nabla }})=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$

Burada ${\displaystyle \mu =0,1,2,3}$ alınır ve c ışıkhızıdır.

Tensör gösteriminde virgül türev olarak ifade edilir:

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x_{\mu }}}=\partial _{\mu }F=F_{,\mu }}$

Burada ${\displaystyle \mu ={0,1,2,3}}$ alınır.

Maxwell Denklemler tensörlerle ifade edilebilir. Kaldı ki bu şekilde dört tane olan denklem sayısı ikiye inmiş olur.

${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=J^{\nu }}$

${\displaystyle \partial _{\sigma }F_{\mu \nu }+\partial _{\nu }F_{\sigma \mu }+\partial _{\mu }F_{\nu \sigma }=0}$

Bu denklemleri daha da sade yazabiliriz:

${\displaystyle {F^{\mu \sigma }}_{,\mu }=J^{\nu }}$

${\displaystyle \epsilon _{\tau \mu \nu \sigma }{F^{\nu \sigma }}_{,\mu }=0}$

Buradaki ${\displaystyle \epsilon _{\delta \alpha \beta \gamma }}$ çarpanı Levi-Civita Tensörüdür.[1][2][3]