D'Agostino'nun K-kare sınaması

İstatistik bilim dalında D'Agostino'nun K² sınaması normal dağılımdan ayrılmayı ölçmek için kullanılan bir uygulama iyiliği ölçüsüdür. Örneklem basıklık ve çarpıklık ölçülerinin dönüşümlerinden elde edilmiştir. K² istatistiği şöyle elde edilir:

n değerinin gözlem sayısı ve böylelikle genellikle serbestlik derecesi olduğu bilinmektedir. Örneklem çarpıklık ölçüsü, ${\sqrt {b_{1}}}$ , şöyle tanımlanır:

{\sqrt {b_{1}}}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\mu _{3}}{\left(\sigma ^{2}\right)^{3/2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{3}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}

Örneklem basıklık ölçüsü, ${\sqrt {b_{2}}}$ ise şöyle tanimlanır:

b_{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}={\frac {\mu _{4}}{\left(\sigma ^{2}\right)^{2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{4}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{2}}}

Burada ${\bar {x}}$ örneklem ortalaması, σ² ikinci merkezsel moment veya varyans ve sırasiyla μ₃ ve μ₄ üçüncü ve dördüncü merkezsel moment lerdir.

Dönüştürülmüş çarpıklık

Önce, çarpıklık ölçüsü ${\sqrt {b_{1}}}$ 'nin bir dönüşümü olan

Z\left({\sqrt {b_{1}}}\right)

hesaplanır. Verinin normal dağılım gösterdiğine dair sıfır hipotez geçerli ise, bu ifade yaklaşık olarak normal dağılım gösterir:

Y={\sqrt {b_{1}}}\cdot {\sqrt {\frac {(n+1)(n+3)}{6(n-2)}}}

\beta _{2}\left({\sqrt {b_{1}}}\right)={\frac {3(n^{2}+27n-70)(n+1)(n+3)}{(n-2)(n+5)(n+7)(n+9)}}

W^{2}=-1+{\sqrt {2(\beta _{2}\left({\sqrt {b_{1}}}\right)-1)}}

\delta =1/{\sqrt {ln(W)}}

\alpha ={\sqrt {\frac {2}{W^{2}-1}}}

Z\left({\sqrt {b_{1}}}\right)=\delta ln\left(Y/\alpha +{\sqrt {(Y/\alpha )^{2}+1}}\right)

Dönüştürülmüş Basıklık

Sonra, basıklık ölçüsü olan $b_{2}$ 'in bir dönüşümü olan $Z\left(b_{2}\right)$ hesaplanır. Verinin normal dağılım gösterdiğine dair sıfır hipotez geçerli ise, bu ifade de yaklaşık olarak normal dağılım gösterir:

E\left(b_{2}\right)={\frac {3(n-1)}{n+1}}

\sigma _{b_{2}}^{2}={\frac {24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^{2}(n+3)(n+5)}}

x={\frac {b_{2}-E\left(b_{2}\right)}{\sigma _{b_{2}}}}

Bundan sonra ise, basıklık ifadesinin çaprazlığı bulunur:

{\sqrt {\beta _{1}\left(b_{2}\right)}}={\frac {6(n^{2}-5n+2)}{(n+7)(n+9)}}{\sqrt {\frac {6(n+3)(n+5)}{n(n-2)(n-3)}}}

A=6+{\frac {8}{\sqrt {\beta _{1}\left(b_{2}\right)}}}\left[{\frac {2}{\sqrt {\beta _{1}\left(b_{2}\right)}}}+{\sqrt {1+{\frac {4}{\beta _{1}\left(b_{2}\right)}}}}\right]

Z\left(b_{2}\right)=\left(\left(1-{\frac {2}{9A}}\right)-{\sqrt[{3}]{\frac {1-2/A}{1+x{\sqrt {2/(A-4)}}}}}\right){\sqrt {\frac {9A}{2}}}

İçerikli K² istatistiği

Şimdi, bu $Z\left({\sqrt {b_{1}}}\right)$ ile $Z\left(b_{2}\right)$ ifadelerini birleştirip normallik sınaması için D'Agustino'nun sınama istatistiği şöyle tanımlanır:

K^{2}=\left(Z\left({\sqrt {b_{1}}}\right)\right)^{2}+\left(Z\left(b_{2}\right)\right)^{2}

$K^{2}$ istatistiği yaklaşık olarak serbestlik derecesi 2 olan bir $\chi ^{2}$ ile dağılım gösterir.

İç bağlantılar

Kaynakça

D'Agostino, Ralph B., Albert Belanger, and Ralph B. D'Agostino, Jr. "A Suggestion for Using Powerful and Informative Tests of Normality", The American Statistician, Cilt. 44, No. 4. (Kasım., 1990), say. 316-321.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.