Chebyshev kesirli fonksiyonları

${\displaystyle R_{n+1}(x)=2\,{\frac {x-1}{x+1}}R_{n}(x)-R_{n-1}(x)\quad \mathrm {for\,n\geq 1} }$

${\displaystyle (x+1)^{2}R_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}{\frac {d}{dx}}\,R_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}{\frac {d}{dx}}\,R_{n-1}(x)\quad \mathrm {for\,n\geq 2} }$

${\displaystyle (x+1)^{2}x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\,R_{n}(x)+{\frac {(3x+1)(x+1)}{2}}{\frac {d}{dx}}\,R_{n}(x)+n^{2}R_{n}(x)=0}$

Yedinci derecenin (n = 7) mutlak değerinin x 0.01 ve 100 arasında Chebyshev kesirli fonksiyonları için çizimi. Burada unutmadan x = 1 'a kadar n sıfır simetrik olarak düzenlenmiş ve eğer x₀ bir sıfır ise,1/x₀ da bir sıfırdır.Maksimum değerle sıfır arasında birimdir.Tüm dereceler için bu özellikler tutar.

Tanım:

${\displaystyle \omega (x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}}$

Chebyshev Chebyshev kesirli fonksiyonların ortogonalitesi yazılabilir:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{m}(x)\,R_{n}(x)\,\omega (x)\,dx={\frac {\pi c_{n}}{2}}\delta _{nm}}$

Burada ${\displaystyle c_{n}}$ eşit 2 n = 0 ve ${\displaystyle c_{n}}$ eşit 1 için ${\displaystyle n\geq 1}$ ve ${\displaystyle \delta _{nm}}$ için Kronecker delta fonksiyonudur.

Bir keyfi fonksiyon ${\displaystyle f(x)\in L_{\omega }^{2}}$ için ortogonalite ilişkililiği ${\displaystyle f(x)}$ açılımına kullanılabilir:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}R_{n}(x)}$

burada

${\displaystyle F_{n}={\frac {2}{c_{n}\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)R_{n}(x)\omega (x)\,dx.}$