Hermit polinomu

Diğer klasik dik polinomlar gibi, Hermit polinomları birkaç farklı başlangıç noktasından tanımlanabilir. Hermit polinomlarının tam ortak kullanımı olmadığı için iki farklı denklemi vardır.

• Olasılıkçıların kullandığı Hermit polinomu;

${\displaystyle {\textstyle He_{n}(x)=(-1)^{n}e^{\left({\frac {x^{2}}{2}}\right)}{d^{n} \over dx^{n}}e^{\left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right)}}}$

• Fizikçilerin kullandığı Hermit polinomu;

${\displaystyle {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{d^{n} \over dx^{n}}e^{-x^{2}}}}$

Bu denklemler bir Rodrigues formülü biçimindedir ve şu şekilde de yazılabilir;

${\displaystyle {\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1,\quad H_{n}(x)=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}}$

İki tanım tam olarak aynı değildir, her biri bir diğerinin yeniden ölçeklendirilmesidir.

${\displaystyle {\displaystyle H_{n}(x)=2^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}}_{n}\left({\sqrt {2}}\,x\right),\quad {\mathit {He}}_{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}}$

Hermit polinomunun ilk altı değer grafiği

Olasılıkçıların kullandığı Hermit polinomunun ilk on bir değeri;

${\textstyle {\displaystyle He_{0}(x)=1}}$

${\textstyle {\displaystyle He_{1}(x)=x}}$

${\textstyle {\textstyle He_{2}(x)=x^{2}-1}}$

${\textstyle {\textstyle He_{3}(x)=x^{3}-3x}}$

${\textstyle {\textstyle He_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3}}$

${\textstyle {\textstyle He_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x}}$

${\textstyle {\textstyle He_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15}}$

${\textstyle {\textstyle He_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x}}$

${\textstyle {\textstyle He_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105}}$

${\textstyle {\textstyle He_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x}}$

${\textstyle {\textstyle He_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{3}-945}}$

Fizikçilerin(${\displaystyle H_{n}}$) kullandığı Hermit polinomunun ilk altı değer grafiği

Fizikçilerin kullandığı Hermit polinomunun ilk on bir değeri;

${\textstyle H_{0}(x)=1}$

${\displaystyle H_{1}(x)=2x}$

${\textstyle H_{2}(x)=4x^{2}-2}$

${\textstyle H_{3}(x)=8x^{3}-12x}$

${\textstyle H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12}$

${\textstyle H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120}$

${\textstyle H_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120}$

${\textstyle H_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x}$

${\textstyle H_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680}$

${\textstyle H_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x}$

${\textstyle H_{10}(x)=1024x^{10}-2340x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240}$

${\displaystyle n}$ dereceden bir Hermit polinomu ${\displaystyle n}$ dereceli bir polinomdur. Olasılıkçıların( ${\displaystyle He_{n}}$) kullandığı Hermit polinomunun ilk terimindeki katsayısı her zaman 1'dir.Fizikçilerin(${\displaystyle H_{n}}$) kullandığı Hermit polinomunun katsayısı ${\displaystyle 2^{n}}$