Bir Lie cebirinin kökü

Diyelimki ${\displaystyle k}$ bir alan olsun ve diyelimki ${\displaystyle k}$ üzerinde bir sonlu-boyutlu Lie cebiri olsun. Bir maksimal çözülebilir ideal, buna kök, denir,nedeni aşağıdadır. İlk olarak ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$nin iki çözülebilir ideali ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ve ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ olsun.Öyleyse ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ yine bir idealidir ,ve çözülebilirdir çünkü ${\displaystyle ({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}\simeq {\mathfrak {b}}/({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})}$ by ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ nin bir açılımıdır.Bunun için ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ olarak ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ nin tüm çözülebilir ideallerinin toplamı olarak tanımlayabiliriz,ayrıca bundan dolayı ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ nin kökü tektir. İkinci olarak ${\displaystyle \{0\}}$ ifadesi ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ bir çözülebilir idealidir,${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ nin her zaman kökü bulunmaktadır.

Bir Lie cebiri yarıbasit yalnız ve yalnız onun kökü 0dır. Bir Lie cebiri indirgemeli ancak ve ancak eşitlerin köküdür onun merkezidir.